Voorbeelden

We zullen nu een aantal voorbeelden geven. Je kunt de stappen ook volgen aan de hand van de applet scheiden van variabelen.

• Geef de oplossingsformule voor de differentiaalvergelijking \(\frac{dx}{dt}=3 \cdot x\), met \(x(5)=10\)

  Oplossing:

  Eerst de algemene oplossing:

  \(\frac{1}{x}dx=3\,dt\)

  \(\ln(x(t)) = 3 \cdot t + c\)

  \(x(t)=e^{ 3 \cdot t + c}\)

  \(x(t)=e^c \cdot e^{ 3 \cdot t} = a \cdot e^{ 3 \cdot t} \)

  Nu we de algemene oplossing gevonden hebben moeten we de constante \(a\) nog bepalen uit de beginconditie om tot de oplossing te komen.

  \(x(t_0)=10=a \cdot e^ { 3 \cdot 5 } \Rightarrow \)

  \(a = \frac{10}{ e^ { 3 \cdot 5 }}= 10\cdot e^ {-15}\)

  De oplossing voor de differentiaalvergelijking met de gegeven beginconditie is dan

  \(x(t)=10\cdot e^ {-15} \cdot e^{ 3 \cdot t}\).

  Controle:

  \(\frac{dx(t)}{dt} = \frac{d(10\cdot e^ {-15} \cdot e^{ 3 \cdot t})}{dt}\)

  \( = 10\cdot e^ {-15} \cdot \frac{d(e^ { 3 \cdot t })}{dt} = 10\cdot e^ {-15} \cdot e^ { 3 \cdot t } \cdot 3 \)

  \( = 3 \cdot x(t)\)

  Dit klopt. Dus we hebben het goed gedaan.

• Geef de oplossingsformule voor de differentiaalvergelijking \(\frac{dx}{dt}=6 \cdot t \cdot x\), met \(x(0)=1\)

  Oplossing:

  Eerst de algemene oplossing:

  \(\frac{1}{x}dx=6 \cdot t \,dt\)

  \(\ln(x(t)) = 3 \cdot t^2 + c\)

  \(x(t)=e^c \cdot e^{ 3 \cdot t^2 }\)

  \(x(t)=a e^ { 3 \cdot t^2 }\)

  Nu we de algemene oplossing gevonden hebben moeten we de constante \(a\) nog bepalen uit de beginconditie om tot de oplossing te komen.

  \(x(0)=1=a e^ { 3 \cdot 0^2 } \Rightarrow a=1\)

  De oplossing voor de differentiaalvergelijking met de gegeven beginconditie is dan

  \(x(t)=e^ { 3 \cdot t^2 }\).

  Voer de controle zelf uit.

• Geef de oplossingsformule voor de differentiaal vergelijking \(\frac{dx}{dt}=\frac{2 \cdot x}{t}\), met \(x(1)=6\) en \(t>0\)

  Oplossing:

  Eerst de algemene oplossing

  \(\frac{1}{x}dx=\frac{2}{t}dt\)

  \(\ln(x(t))=2 \cdot \ln(t) + c\)   ; \(t>0\)

  \(x(t)=e^c \cdot e^{ \ln(t^2) }\)   ; \(t>0\)

  \(x(t)=a \cdot t^2 \)   ; \(t>0\)

  Nu we de algemene oplossing gevonden hebben moeten we de constante \(a\) nog bepalen uit de beginconditie om tot de oplossing te komen.

  \(x(1)=6=a \cdot 1^2 \Rightarrow a=6\)

  De oplossing voor de differentiaalvergelijking met de gegeven beginconditie is dan

  \(x(t)=6 \cdot t^2\)   ; \(t>0\)

  Voer de controle zelf uit.