2.1 - Theorie: Het vinden van een exacte oplossing door scheiden van variabelen
Het vinden van een exacte oplossing door scheiden van variabelen
Net als bij de lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde kan men,
met behulp van de methode 'scheiden van variabelen', soms een exacte oplossing vinden voor de vergelijking:
\(\frac{dx}{dt}=h(x) \cdot f(t) \) ; \(x(t_0)=x_0\).
Bij de differentiaalvergelijking voor logistische groei blijkt dit mogelijk te zijn. De vergelijking is:
\(\frac{dx}{dt}=r \cdot x \cdot (1 - \frac{x}{C}) = r \cdot h(x) \) ; \(x(t_0)=x_0\)
Voor het scheiden van variabelen delen we links en rechts door \(h(x)\) en vermenigvuldigen we met \(dt\).
\(\frac{dx}{h(x)}=r \cdot dt \)
Nu moeten we links en rechts primitiveren. We laten de integratieconstante nog even weg. We concentreren ons eerst op het linkerdeel van de vergelijking
\(\frac{1}{x \cdot (1 - \frac{x}{C})} dx \)
en gaan deze eerst herschrijven door te vermenigvuldigen met \(\frac{C}{C}\). Dit levert:
\(\frac{C}{x \cdot (C - x)} dx \)
Breuksplitsen (zoek \(A\) en \(B\) zodanig dat \(\frac{A}{x}+\frac{B}{C-x}= \frac{A(C-x)+Bx}{x(C-x)} = \frac{C}{x(C-x)} \) ) levert op:
\(\frac{1}{x}dx + \frac{1}{(C - x)} dx\)
Deze vormen kunnen we primitiveren tot:
\(\ln(x(t))-\ln(C-x(t))\)
Primitiveren van het rechterdeel \(r dt\) levert:\(r\cdot t\)
Nu voegen we het rechter- en linkerdeel weer samen en noemen de integratieconstante \(d\):
\(\ln(x(t))-\ln(C-x(t))=r\cdot t + d\)
Exponentiëren geeft:
\(e^{\ln(x(t)) - \ln(C-x(t))} = e^{r \cdot t + d} = a \cdot e^{r\cdot t}\)
waarin \(a=e^d\). Verder herschrijven levert:
\(\frac{x(t)}{C-x(t)} = a \cdot e^{r \cdot t} \)
Uit deze vergelijking moeten we \(x(t)\) nog vrijmaken. Dat doen we door eerst links en rechts te vermenigvuldigen met \(C-x(t)\).
\(x(t)=(C-x(t)) a \cdot e^{r\cdot t} \Rightarrow \)
\(x(t) + x(t)a \cdot e^{r\cdot t} = C \cdot a \cdot e^{r\cdot t } \Rightarrow\)
\(x(t)(1 + a \cdot e^{r\cdot t } ) = C a \cdot e^{r\cdot t } \Rightarrow \)
\(x(t) = \frac{C a \cdot e^{r\cdot t }}{(1 + a \cdot e^{r\cdot t } )}\)
Om een nog mooiere vorm te krijgen delen we de teller en noemer nog door \(e^{r\cdot t}\):
\(x(t) = \frac{a C }{ e^{-r\cdot t} + a}\)
Dit is de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking. De waarde van \(a\) wordt bepaald door de beginconditie \(x(t_0)=x_0\).
Voorbeeld:
Gegeven is de differentiaalvergelijking:
\(\frac{dx}{dt}=1 \cdot x \cdot (1 - \frac{x}{5}) \) ;\(x(0)=1\)
De algemene oplossing is gelijk aan:
\(x(t) = \frac{5a}{ e^{-t} + a}\)
Invullen van de beginconditie levert:
\(x(0)= 1 = \frac{5a}{ 1 + a} \Rightarrow \)
\(1+a=5a \Rightarrow a= \frac{1}{4} \)
De oplossing van de vergelijking is nu:
\(x(t) = \frac{5/4}{ e^{-t} + 1/4}\)
We kunnen de breuken nog wegwerken door teller en noemer met 4 te vermenigvuldigen:
\(x(t) = \frac{5}{ 4e^{-t} + 1}\)
Opdracht: Overtuig jezelf dat \(x(0)=1\) en dat in de loop van de tijd de oplossing de horizontale asymptoot \(x=5\) nadert, oftewel...
\(x(t) \rightarrow 5\) als \(t \rightarrow \infty\).