Laten we eens naar de meest eenvoudige tweede orde differentiaalvergelijking kijken

\(\frac{d^2x}{dt^2}=a\)

Als \(x(t)\) de plaats van een object op tijdstip \(t\) voorstelt dan geeft deze vergelijking een constante versnelling \(a\) van het object. Op \(t=t_0\) bevindt het object zich ergens op plaats \(x_0\) en kan op dat moment ook al aan het bewegen zijn met snelheid \(v_0\).

De oplossing van bovenstaande niet homogene differentiaalvergelijking krijgen we door twee keer te primitiveren. De eerste keer primitiveren levert de snelheid op tijdstip \(t\):

\(\frac{dx}{dt}(t)=v_0+\int_{t_0}^tadt=v_0+a(t-t_0)\).

Deze snelheid primitiveren levert de toestand:

\(x(t)=x_0 + \int_{t_0}^t\frac{dx}{dt}(t)dt=x_0+\int_{t_0}^t(v_0+a(t-t_0))dt=x_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t-t_0)^2\)

Deze laatste oplossing zul je waarschijnlijk al eens in de natuurkundeles zijn tegengekomen bij het onderwerp eenparige versnelling.

Onderzoek in de onderstaande applet het gedrag van de differentiaalvergelijkingen \(\frac{d^2x}{dt^2}=1\) en \(\frac{d^2x}{dt^2}=-1\) en maak vervolgens de opgaven over primitiveren

In de applet hieronder kun je een keuze maken uit verschillende voorgedefinieerde problemen of je kunt je eigen tweede orde differentiaalvergelijking invullen. Door in de linker grafiek te klikken kun je een simulatie starten. Er worden dan een \(t_0\) en een \(x_0\) geselecteerd op het punt waar de muis zich bevindt. Je kan ook in de rechter grafiek klikken. Ook dan wordt een simulatie gestart, alleen kies je hier een \(x_0\) en \(v_0\). De blauwe lijn die links verschijnt is de simulatie van de toestand \(x\) de dunne zwarte lijn is de bijbehorende snelheid \(\frac{dx}{dt}\). De bedoeling is dat je door experimenteren een gevoel voor het gedrag van de oplossingen krijgt.
Je kunt ook nog zelf de oplossing intypen en kijken of de door jou gevonden oplossing overeenkomt met de simulatie.

1 -1 \(x\) \(-x\) \(3 \frac{dx}{dt} - 2x\) \(-\frac{dx}{dt}-6.5 x\) \(-4\frac{dx}{dt}-4x\)