4.1 - Theorie: Hoe kom je tot een oplossing? Twee oplossingen.

Hoe kom je tot een oplossing? Twee oplossingen.

We weten nu dat we twee begincondities moeten geven om tot een oplossing te komen. Er is nog een eigenschap van de lineaire tweede orde differentiaalvergelijking die we zullen illustreren aan de hand van de volgende vergelijking:

\(\frac{d^2x}{dt^2}(t)=x\)

Het is door tweemaal differentiëren eenvoudig in te zien dat zowel \(x_1(t)=e^{t-t_0}\) en \(x_2(t)=e^{-(t-t_0)}\) aan deze vergelijking voldoen. Zonder bewijs geven we de volgende eigenschap die voor alle homogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijkingen geldt:

Stelling: Als \(x_1(t)\) en \(x_2(t)\) twee oplossingen zijn voor de homogene lineaire tweede orde differentiaalvergelijking

\(\frac{d^2x}{dt^2}-p(t)\frac{dx}{dt}-q(t)x=0\)

waarvoor geldt

\(x_1(t)\frac{dx_2}{dt}(t)-x_2(t)\frac{dx_1}{dt}(t) \neq 0\),

dan is er voor iedere beginconditie \(x_0,v_0\) een uniek paar getallen \(a,b\) te vinden, zó dat de oplossing voor deze vergelijking gelijk is aan

\(x(t)=a x_1(t)+b x_2(t)\).

Laten we deze stelling eens toepassen op de vergelijking

\(\frac{d^2x}{dt^2}(t)=x\); \(x(0)=x_0\) en \(\frac{dx}{dt}(0)=v_0\)

We hadden al gezien dat \(x_1(t)=e^{t}\) en \(x_2(t)=e^{-t}\) twee oplossingen waren. Eerst moeten we testen of we aan de voorwaarde in de stelling voldoen:

\(x_1(t)\frac{dx_2}{dt}(t)-x_2(t)\frac{dx_1}{dt}(t) = -e^te^{-t}-e^te^{-t} = -2e^te^{-t}=-2 \neq 0\),

De test geeft een geldige uitkomst, dus mogen we de stelling gebruiken. Wat ons rest is \(a\) en \(b\) te vinden. Deze waarden vinden we door vergelijkingen voor de begincondities op te stellen. Op \(t=0\) moet namelijk gelden:

\(x(0)=a e^0 +b e^{-0}= a + b = x_0\)

en

\(\frac{dx}{dt}(0)=a e^0 - b e^{-0}= a - b = v_0\)

Om \(a\) en \(b\) te vinden moeten we dus het volgende stelsel vergelijkingen oplossen:

\(\left\{ \begin{array}{ccc} a + b & = & x_0 \\ a - b & = & v_0 \end{array} \right.\)

Dit levert:

\(a=\frac{x_0+v_0}{2}\) en \(b= \frac{x_0-v_0}{2}\)

De oplossing is nu:

\(x(t)=\frac{x_0+v_0}{2}e^t + \frac{x_0-v_0}{2}e^{-t}\)