In deze sectie behandelen we heel kort dat deel van de theorie van complexe getallen dat nodig om deze cursus te kunnen volgen. Voor een uitgebreide inleiding van complexe getallen willen wij verwijzen naar je boek of naar het webdocument COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D van Jan van der Craats.

Het imaginaire getal \(i\)

De vergelijking \(x^2=-1\) heeft geen reëele oplossing. Er is namelijk geen enkel reëel getal waarvan het kwadraat negatief is. Wiskundigen hebben een getal "bedacht" waarvoor het kwadraat wel -1 is. Dit getal noemen we \(i\) uitgesproken als imaginair getal. Het imaginaire getal wordt gedefinieerd door

Dit getal is geen reëel getal.

Voor de oplossing van de vergelijking \(x^2=-1\) geldt dan: \(x^2=-1=i^2\) waaruit volgt: \(x=i \;\vee\; x=-i\). Controle: \(i^2=-1\) en \((-i)^2=(-1)^2\cdot i^2=1 \cdot -1=-1\)

Oplossingen voor \(x^2=-a, a \ge 0\) en \( a \in \mathbb{R} \)

Je weet nu dat \(i^2=-1\). Om de oplossing van de vergelijking \(x^2=-a, a > 0\) en \( a \in \mathbb{R} \). Ga je als volgt te werk:

\(x^2=-a=a \cdot i^2 \Rightarrow x=i\sqrt{a} \vee x=-i\sqrt{a}\).