Tot nu toe hebben we naar systemen gekeken waarin er slechts één toestand centraal stond. Bijvoorbeeld de hoeveelheid radioactiviteit van radioactief materiaal, de concentratie van bacteriën in een kweekcultuur, de uitwijking van een slinger, etc. De eerste twee voorbeelden beschreven we met differentiaalvergelijkingen van de eerste orde, de laatste met een differentiaalvergelijking van de tweede orde. In de theorie van de tweede orde vergelijkingen hebben we gemeld dat een dergelijke vergelijking is om te zetten in een eerste orde differentiaalvergelijking in twee variabelen. De motivatie hiervoor is dat er in werkelijkheid twee toestanden zijn waarmee we rekening moeten houden. Namelijk de grootheid zelf (in dit geval de uitwijking van de slinger) en de snelheid waarmee die grootheid verandert. De tweede orde differentiaalvergelijking geeft namelijk aan hoe de snelheid van verandering van die grootheid wordt beïnvloed.

Er zijn echter nog veel meer dynamische systemen waar meerdere toestanden nodig zijn. Meng je bijvoorbeeld twee chemicaliën om ze met elkaar te laten reageren, dan zijn er meteen al minstens drie toestanden die je wilt boekhouden: de concentraties van de reactiestoffen en de concentratie van het gevormde product. Het is duidelijk dat de concentraties van de stoffen de snelheid waarmee de reactie verloopt zullen beïnvloeden. Als er minder stof aanwezig is verloopt een reactie langzamer. Kijken we naar ons zonnestelsel dan hebben de massa's van de planeten en de zon, door de zwaartekracht, in meer- of mindere mate invloed op elkaars beweging. Hoe zwaarder het object, des te meer invloed dat object heeft op een ander object. In een natuurlijke omgeving is overleven een zaak van eten of gegeten worden. Ook hier wordt de reproductie van een organisme beïnvloed door de mate waarin andere organismen met dit organisme concurreren of dit organisme met opeten bedreigen.

De dynamische modellen voor één grootheid zijn in de toegepaste wiskunde eerder een uitzondering dan de regel. Het zal, als we terugdenken aan de voorgaande paragrafen, niet echt een verrassing zijn dat ook bij systemen met meer variabelen, het vinden van oplossingen voor systemen een zeldzaamheid is. Het blijkt dat voor de lineaire differentiaalvergelijkingen weer van alles mogelijk is. Echter het aantal systemen waarin grootheden elkaar lineair beïnvloeden vormt slechts een bijzonder klein deel van de onderzochte systemen in de wetenschap en daarbuiten. In de eerder genoemde chemische reactie gaat het al fout. Twee moleculen zullen toch echt bij elkaar moeten komen om te kunnen reageren. Dit samenzijn van twee moleculen zorgt voor een vermenigvuldiging van de twee toestanden en dus voor 'niet lineariteit'.

In dit hoofdstuk gaan we ons toch bezighouden met de lineaire modellen. Ten eerste doen we dat om het gebruik van meerdere variabelen te introduceren. Ten tweede is het de opmaat voor de analyse van niet lineaire systemen. In toegepast onderzoek aan dynamische systemen is de centrale vraag vaker 'Hoe gedraagt een systeem zich?' dan de vraag 'Hoeveel is er precies van een bepaalde grootheid op een bepaald moment?'. Twee voorbeelden. De vraag 'Blijven er vissen in de Noordzee aanwezig met de huidige manier van vissen?' is belangrijker dan de vraag 'Hoeveel ton haring zit er morgen in de Noordzee?'. De vraag 'Blijft de aarde opwarmen door het gebruik van fossiele brandstoffen?' is belangrijker dan de vraag 'Hoe warm is het op 2 februari 2020?'. De vraag 'Blijven er vissen in de Noordzee aanwezig met de huidige manier van vissen?' is een vraag naar de stabiliteit en veerkracht van het systeem. Is er een evenwicht? Is er sprake van een beweging richting dat evenwicht? Als er geen evenwicht is wat dan?

In de paragrafen over niet lineaire systemen hebben we de techniek 'lokaal lineariseren' geïntroduceerd. In deze techniek benaderden we een evenwicht lokaal met een lineair systeem dat we door differentiëren verkregen. Daarna konden we op basis van dat lokale lineaire systeem bepalen of het evenwicht al dan niet stabiel was. Deze techniek laat zich redelijk eenvoudig uitbreiden naar meer dimensies. In dit hoofdstuk zullen we eerst het evenwicht en de oplossingen van lineaire systemen bekijken. We beperken ons daarbij tot systemen in twee variabelen. Dit vooral om de technieken te verduidelijken. De techniek is echter direct toe te passen in hogere dimensionale systemen. In het volgende deel beschouwen we de stabiliteit van evenwichten in niet lineaire systemen.