In de vorige sectie hebben we opgemerkt dat er minimaal drie variabelen nodig zijn om chaos in een autonoom systeem te kunnen krijgen. Er zijn ook systemen die ogenschijnlijk minder variabelen hebben en die toch chaos vertonen. Dit zijn de zogenoemde geforceerde systemen. In deze geforceerde systemen wordt er een periodieke externe krachtbron op het systeem losgelaten. Op deze wijze kunnen bijvoorbeeld een slinger en het prooi-predator model chaos vertonen.

Geforceerd prooi-predator model:

In het predator-prooi model zijn er een aantal mogelijkheden om cyclische gebeurtenissen op aannemelijke wijze in te voeren. Er kunnen ondermeer jaarlijkse en dagelijkse veranderingen zijn in kansen op voortplanting en sterfte. In het model aangeboden in onderstaande applet is gekozen om een fluctuatie op het vinden van een prooi te zetten in het model met dichtheidafhankelijkheid en met functionele respons.

\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & rx(1-x/c) - (1+0.5\sin(t))ax\frac{T}{1+T_hx}y \\\frac{dy}{dt} & = & b(1+0.5\sin(t))ax\frac{T}{1+T_hx}y - dy \end{array} \right. \)

Opdracht: Welk effect heeft de term \((1+0.5*\sin(t))\) in bovenstaande vergelijking

Opdracht: Verander de waarde voor \(a\) in de applet en onderzoek de verschillen.

Je zou ook de fluctuatie in \(r\) of \(c\) kunnen aanbrengen. Het is dan helemaal niet zo makkelijk om chaos te scheppen.

Opdracht: Verander de waarde voor \(c\) in de applet en onderzoek de verschillen.

Geforceerde gedempte slinger:

Als een slinger aan een draaibare as wordt opgehangen en als deze as dan periodiek heen en weer wordt gedraaid dan kun je een externe periodieke kracht op de slinger uitoefenen. Dit is eigenlijk ook wat je doet als je zelf handmatig een slinger op gang wil houden. In de sectie over hogere orde systemen hebben we een model opgesteld voor de gedempte slinger namelijk:

\(\frac{d^2\theta}{xt^2} = -c\frac{d\theta}{dt}-\frac{g}{l}\sin(\theta)\).

In de geforceerde slinger is de kracht uitgevoerd door het extern draaien van de as gelijk aan \(\rho\sin(t)\). Waarin \(\rho\) een positief constant getal die aan geeft hoe groot de kracht is. De vergelijking voor de geforceerde gedempte slinger wordt dan (kies bovendien \(g=l\) om de vergelijking eenvoudiger te maken):

\(\frac{d^2\theta}{xt^2} = -c\frac{d\theta}{dt}-\sin(\theta) + \rho\sin(t)\).

We herschrijven dit als niet homogene eerste orde differentiaalvergelijking:

\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & y \\\frac{dy}{dt} & = & -\sin(x)-cy+\rho\cos(t) \end{array} \right.\)

Opdracht: In onderstaande applet zijn twee situaties voor de geforceerde gedempte slinger gegeven. Onderzoek de verschillen

Opdracht: Verander de waarde voor \(c\) en \(\rho\) in de applet en onderzoek de verschillen.

In de applet in de popup hieronder zijn er groene en paarse oplossingen. De beginwaarden voor de paarse oplossingen zijn een factor 1.001 verschillend ten opzichte van de groene oplossingen.

Functies moeten in Javascript worden geschreven. Speciale wiskundige functies kun je vinden op b.v. w3schools.com.

Jij als opmerkzame lezer zal misschien denken: "In bovenstaande systemen zijn er toch maar twee variabelen en er zijn er drie nodig voor chaos, hoe zit dat dan?". Het antwoord op deze vraag is dat de systemen geen autonome systemen zijn. We kunnen de geforceerde systemen autonoom maken door de tijd ook als variabele te zien en daarvoor een dummy variabele in te voeren b.v. \(\tau\). Er is dan geen tegenspraak meer met de eerder gedane bewering. Het model voor de geforceerde gedempte slinger wordt dan:

\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & y \\\frac{dy}{dt} & = & -\sin(x)-cy+\rho\cos(\tau) \\\frac{d\tau}{dt} & = & 1 \end{array} \right.\)