We hebben al vermeld dat de vergelijking

\(a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2} + \ldots + a_2x^2 +a_1x + a_0 = 0\)

\(n\) oplossingen binnen de verzameling van complexe getallen heeft. Sommige daarvan kunnen samenvallen. Echter hier moet wel worden opgepast. De vergelijking

\((z-2)^3 = 0\)

heeft inderdaad drie samenvallende oplossingen, maar de vergelijking

\(z^3 = 8\)

heeft drie verschillende oplossingen binnen de complexe getallen. Een daar van moet natuurlijk \(z=2\) zijn want \(2^3=8\). Welke zijn nu de andere twee?

Voor een oplossing beschouwen we de Euler schrijfwijze \(z=|z|e^{\arg(z)i}\). Als \(z\) een oplossing is moet gelden \(z^3= z \cdot z \cdot z = |z|^3e^{3\arg(z) i}\). Schrijven we \(8\) ook in een Euler vorm i.e. \(8 = 8 e^{k2\pi \,i}; k \in \mathbb{N}\) dan moet gelden \(|z|^3 = 8\) en \(3\arg(z)=k 2\pi\) ofwel \(|z|=3\) en \(arg(z)= k \frac{2}{3} \pi\). De drie verschillende oplossingen zijn dan:

\(z_1=2; \; z_2=2e^{\frac{2}{3}\pi\,i};\;z_3=2e^{\frac{4}{3}\pi\, i};\)