Continue dynamische modellen

B2 - Opgaven Lineaire algebra

Rekenen met vectoren en matrices

Gegeven zijn de vectoren

$\bar{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right) \;;\; \bar{y}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right) \;;\; \bar{r}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \;;\; \bar{s}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right) $

en de matrices

$\mathbf{A}=\left( \begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right)\;;\; \mathbf{B}=\left( \begin{array}{ll} 4 & -1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\;;\; \mathbf{C}=\left( \begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\;;\; \mathbf{D}=\left( \begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)\;;\; $

Voer de volgende berekeningen uit

$\bar{x}+2\bar{y}$ Antwoord
$3\bar{r}-\bar{s}$ Antwoord
$\mathbf{A}\bar{x}$ Antwoord
$2\mathbf{C}\bar{r}-\mathbf{D}\bar{s}$ Antwoord
$\mathbf{B}\mathbf{A}$ Antwoord
$\mathbf{A}\mathbf{B}$ Antwoord
$\det(A)$ Antwoord
$\det(B)$ Antwoord
$\det(C)$ Antwoord
Voor meer opgaven matrix vermenigvuldigen: Druk Nieuw
Voor meer opgaven determinant: Druk Nieuw

Eigenwaarden en eigen vectoren

Bereken de eigenwaarden en eigenvectoren voor de volgende transformaties

$\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 \\ -7 & 5 \end{array}\right)$ Antwoord
$\left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ -2 & -1 \end{array}\right)$ Antwoord
$\left( \begin{array}{cc} -4 & 1 \\ 3 & -2 \end{array}\right)$ Antwoord
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right)$ Antwoord

Transformaties

Bepaal 2 × 2 matrix voor de volgende transformaties

Een draaiing over $\pi/6$ tegen de klok in. Antwoord
Een spiegeling in de lijn $y=x$. Antwoord
Een draaing over $\pi/6$ tegen de klok in gevolgd door een spiegeling in de y-as. Antwoord
Een spiegeling in de y-as gevolgd door een draaing over $\pi/6$ tegen de klok in. Antwoord
Een spiegeling in de y-as gevolgd door een draaing over $\pi/6$ tegen de klok in, gevolgd door een draaing over $\pi/6$ met de klok mee gevolgd door een spiegeling in de y-as. Antwoord

Varia

Bepaal de waarden van $a,b$ en $c$ in de volgende problemen

$\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 \\ -7 & 5 \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$ Antwoord
$\left( \begin{array}{cc} -a & 3 \\ 4 & a \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} 1 \\ b \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 10 \end{array}\right)$ Antwoord
$\left( \begin{array}{cc} a & b \\ b & a \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array}\right)$ Antwoord
Gegeven zijn de vectoren $\bar{x}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 9 \end{array}\right)$, $\bar{u}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right)$ en $\bar{v}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 1 \end{array}\right)$. Bepaal de waarden $a$ en $b$ zodat $\bar{x}=a \cdot \bar{u} + b \cdot \bar{v}$ Antwoord.
Gegeven zijn de vectoren $\bar{x}=\left(\begin{array}{c} 8 \\ 1 \end{array}\right)$, $\bar{u}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)$ en $\bar{v}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}\right)$. Bepaal de waarden $a$ en $b$ zodat $\bar{x}=a \cdot \bar{u} + b \cdot \bar{v}$ Antwoord..

Geef de directe oplossing van de reeks $\bar{u}_{n}=A \bar{u}_{n-1}$ met $\bar{u}_{0}=\bar{P}$ in de vorm $\bar{u}_{n}= a \lambda_{1}^{n} \bar{v}_{1} + b \lambda_{2}^{n} \bar{v}_{2}$:

$A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right)$ ; $\bar{u}_{0}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right)$

Eigenwaarden: $\lambda_{1}=4$ en $\lambda_{2}= -1$.
Eigenvectoren:$\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right)$ en $\vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)$
$u_{0} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right) = \frac{4}{5} \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right) - \frac{2}{5}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)$
Directe rij: $\bar{u}_{n}= \frac{4}{5} 4^{n} \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right) - \frac{2}{5}(-1)^{n}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)$
$A=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{1}{2} & -1 \end{array}\right)$ ; $\bar{u}_{0}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)$

Eigenwaarden: $\lambda_{1}=\frac{-5}{4}$ en $\lambda_{2}= \frac{1}{2}$.
Eigenvectoren:$\vec{v}_{1}=\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ 1\end{array}\right)$ en $\vec{v}_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)$
$u_{0} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) = \frac{36}{5} \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right) + \frac{22}{5}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)$
Directe rij: $\bar{u}_{n}= \frac{36}{5} \left(\frac{-5}{4}\right)^{n} \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right) + \frac{2}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array}\right)$

Bepaal het evenwicht en de stabiliteit van dit evenwicht voor de volgende reeksen:

$\bar{x}_{n+1}=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & 3 \\ \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \end{array}\right)\bar{x}_{n}+\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)$

Eigenwaarden: $\lambda_{1} = \frac{1}{8} (-1-\sqrt{21})$ $\lambda_{2} = \frac{1}{8} (-1+\sqrt{21})$
Eigenwaarden in absolute waarde kleiner dan 1 dus stabiel evenwicht $\bar{u}$:
$\bar{u} = \left(\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & 3 \\ \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \end{array}\right)\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) =$
$\bar{u} = \frac{1}{15}\left( \begin{array}{cc} 12 & 48 \\ 1 & 24 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) =\frac{1}{15}\left(\begin{array}{c} 108 \\ 49 \end{array}\right)$
$\bar{x}_{n+1}=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & -1 \end{array}\right)\bar{x}_{n}+\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)$

Eigenwaarden: $\lambda_{1} = \frac{1}{8} (-3-\sqrt{17})$ $\lambda_{2} = \frac{1}{8} (-3+\sqrt{17})$
Eigenwaarden in absolute waarde kleiner dan 1 dus stabiel evenwicht $\bar{u}$:
$\bar{u} = \left(\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & 3 \\ \frac{1}{16} & \frac{1}{4} \end{array}\right)\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) =$
$\bar{u} = \frac{2}{13}\left( \begin{array}{cc} 8 & -1\\ 2 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right) =\frac{2}{13}\left(\begin{array}{c} 31 \\ 11 \end{array}\right)$

Voor meer opgaven Lineaire vergelijkingen van de eerste orde: Druk Nieuw en bepaal het evenwicht en de stabiliteit van dit evenwicht voor de reeks.

${}$

« Vorige |