Oplossen door scheiden van variabelen

We keren terug naar de differentiaalvergelijking waar we dit hoofdstuk mee zijn begonnen:

\(\frac{dx}{dt} = g(t) \cdot x\)   met \(x(t_0)=x_0\) 

Als \(g(t)\) niet een constante functie is dan is er een invloed van de tijd op het dynamische systeem, en is de snelheid dus niet alleen afhankelijk van de toestand \(x\) op een bepaald moment. Wat kun je je hier als toepassing bij voorstellen? De biologie van bacteriën geeft weer een makkelijk te bevatten voorbeeld. De groeisnelheid van bacteriën is namelijk afhankelijk van de omgevingstemperatuur. In de natuur is de temperatuur niet constant. De temperatuur varieert per dag, en gedurende het jaar (de seizoenen). Voor een dag- en nachtritme zou \(g(t)\) dus een periodieke functie kunnen zijn die de groeisnelheid op een bepaald tijdstip op een dag weerspiegelt.

Voor de differentiaalvergelijking hierboven is er een algebraïsche techniek om tot een oplossingsformule te komen. Die techniek noem je "scheiden van variabelen". Deze werkt als volgt:

1. Beschouw \(\frac{dx}{dt}\) als een breuk. Breng alle termen met \(x\) naar de linker kant van het \(=\) teken en alle termen met \(t\) naar rechts.

   \(\frac{1}{x}dx = g(t) \cdot dt\)   met \(x(t_0)=x_0\) 

2. Vervolgens gaan we aan beide zijden integreren om een oplossing van \(t_0\) tot \(t\) te verkrijgen. Aangezien het integratieinterval aan de linkerkant in termen van \(x\) moet zijn integreren we daar van \(x(t_0)\) tot \(x(t)\).

   \(\int_{x(t_0)}^{x(t)}\frac{1}{x}dx = \int_{t_0}^{t} g(t) \cdot dt\)   met \(x(t_0)=x_0\) 

3. Probeer de integralen aan beide kanten algebraïsch op te lossen.

   \([\ln(x)]_{x(t_0)}^{x(t)} = \int_{t_0}^{t} g(t) \cdot dt\)   met \(x(t_0)=x_0\) 

   \(\ln(x(t))-\ln(x_0) = G(t)-G(t_0)\) waarin \(G(t)\) de primitieve van \(g(t)\).

   \(\ln(x(t)) = \ln(x_0) +G(t)-G(t_0)\)

4. Nu \(x(t)\) vrijmaken door links en rechts de inverse functie van \(\ln(x)\) namelijk \(e^{x}\) toe te passen.

   \(e^{\ln(x(t))} = e^{\ln(x_{0}) +G(t)-G(t_{0})} \)

   \(x(t) = e^{ (\ln(x_{0}) + G(t)-G(t_0))}\)

   \(x(t) = x_{0} \cdot e^{G(t)-G(t_{0}) } = x_{0}\cdot e^{-G(t_{0})} \cdot e^{G(t) }\)

5. Als wiskundige controleer je natuurlijk altijd of de gevonden oplossing ook werkelijk een oplossing bij de differentiaalvergelijking is. We doen dit door de oplossing te differentiëren.

   \(\frac{dx(t)}{dt} = x_0 \cdot e^{-G(t_0)} \cdot \frac{d( e^{G(t) })}{dt}\)

   Gebruik de kettingregel:

   \( = x_{0} \cdot e^{-G(t_{0})} \cdot e^{G(t)} \cdot \frac{d(G(t))}{dt}\)

   \( = x(t) \cdot g(t)\)

   Dit klopt, dus zijn we klaar.

   
   
   

In stap 3 bereikten we de volgende vergelijking:

\(\ln(x(t)) = \ln(x_0) +G(t)-G(t_0)\)

Hierin zijn \(\ln(x_0)\) en \(G(t_0)\) constanten die afhankelijk zijn van de beginconditie. Definiëren we \(c=\ln(x_0)-G(t_0)\), dan is deze vergelijking te herschrijven als:

\(\ln(x(t)) = G(t)+c \).

Een veelgebruikte techniek die bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen wordt gebruikt is om na stap 1 alleen te primitiveren, en er een integratieconstante bij op te tellen zodat je gelijk op bovenstaande vergelijking uitkomt. Dit noemt men de algemene oplossing. De constante \(c\) wordt daarna met behulp van de beginconditie opgelost om tot de oplossing te komen voor die beginconditie.

Maak opgaven over scheiden van variabelen: