Continue dynamische modellen

1.1 - Theorie: Asymptotisch gedrag van de exponentiële functie

Asymptotisch gedrag van de exponentiële functie

In dit stukje beschouwen we een eigenschap van de exponentiële functie die we nog vaak tegen zullen komen. Namelijk convergentie naar - of divergentie van - een evenwicht.

Opdracht: In de figuur hieronder zie je verschillende grafieken voor de functie $x(t)=b \cdot g^{t}$. Zet de juiste letter van de grafiek bij de waarden voor $b$ en $g$ in de tabel ernaast.

Voor grafiek geldt $b \lt 0$ en $0 \lt g \lt 1$

Voor grafiek geldt $b \gt 0$ en $0 \lt g \lt 1$

Voor grafiek geldt $b \lt 0$ en $ g \gt 1$

Voor grafiek geldt $b \gt 0$ en $ g \gt 1$

Je ziet dat $x$ zich voor toenemende $t$ naar de horizontale asymptoot $x=0$ beweegt als $0<g<1$ en dat $x$ zich van deze asymptoot afbeweegt als $g>1$. In de sectie hierboven heb je gezien dat in $x(t)=b \cdot e^{c \cdot t}$ de waarde van $c$ gelijkgesteld was aan $\ln(g)$. Dit vertaalt zich dan in de volgende tabel voor de convergentie op basis van de waarde van $c$.

Onderstaande eigenschap zullen we heel veel gebruiken, en niet alleen om de stabiliteit van de evenwichtsoplossing $x(t)=0$ te bepalen.

$\begin{array}{ccc} & \mathrm{convergent} & \mathrm{divergent} \\ x(t)=b g^t & 0 \lt g \lt 1 & g \gt 1 \\ x(t)=b e^{ct} & c \lt 0 & c \gt 0\end{array}$
Dus convergentie voor de oplossing van de differentiaalvergelijking
$\frac{dx}{dt} = c \cdot x$ met $x(t_0)=x_0$
naar het evenwicht $x(t)=0$ als $c$ negatief is en divergentie van het evenwicht $x(t)=0$ als $c$ positief is.