1.1 - Theorie: Exponentiële groei als oplosbare differentiaalvergelijking
Exponentiële groei als oplosbare differentiaalvergelijking
In de inleiding is er een voorbeeld aangehaald over de dichtheid van
bacteriën in een kolonie. In dat voorbeeld beïnvloedt de dichtheid van de kolonie ook weer de groeisnelheid van de kolonie.
Ook geld op een bankrekening heeft die eigenschap. Beide voorbeelden ben je vast
bij de wiskunde van exponentiële groei tegengekomen. Een concreet financiëel voorbeeld:
stel we zetten vandaag € 100 op een spaarrekening met een rentepercentage
van 4% per jaar; dan wordt
ons vermogen \(x\) na \(t\) jaar beschreven door de functie:
\(x(t)=100 \cdot 1.04^t\)
Als we deze functie differentiëren krijgen we:
\(\frac{dx}{dt} = 100 \cdot \ln(1.04) \cdot 1.04^t = \ln(1.04) \cdot x\)
Nu is \(1.04^t\) te schrijven als \(e^{\ln(1.04)\cdot t}.\) De oplossing van de differentiaal vergelijking
\(\frac{dx}{dt} = \ln(1.04)x\) met \(x(0)=100\)
blijkt dus de functie \(x(t)=100 \cdot e^{\ln(1.04)\cdot t}\) te zijn.
\(\frac{dx}{dt} = c \cdot x\) met \(x(t_0)=x_0\)
hoort als oplossing de exponentiële functie \(x(t)=x_0 \cdot e^{c \cdot (t - t_0)}\). De oplossing \(x(t)=0\) is de oplossing die hoort bij de beginconditie \(x(t_0)=0\). Deze oplossing noemen we de evenwichtsoplossing voor het de lineaire homogene differentiaalvergelijking van de eerste orde.