1.1 - Theorie: Integreren van een functie
Integreren van een functie
Bij een differentiaalvergelijking van de eerste orde in één dimensie beschouwen we een toestand \(x\) die eendimensionaal is (bijvoorbeeld: \(x\) is de concentratie van bacteriën in een fles appelsap). Een differentiaalvergelijking geeft de snelheid waarmee die toestand op een bepaald moment verandert. De meest algemene vorm voor een differentiaalvergelijking van de eerste orde is:
\(\frac{dx}{dt} = G(t,x) + f(t)\) met startwaarde(=beginconditie): \(x(t_{0})=x_0\)
In deze cursus zullen we ons beperken tot die functies \(G(t,x)\) die te schrijven zijn als een product van een functie in \(t\) en een functie in \(x\), ofwel \(G(t,x)=g(t)h(x)\) met een differentiaalvergelijking van de vorm:
\(\frac{dx}{dt} = g(t)h(x) + f(t)\) met startwaarde(=beginconditie): \(x(t_{0})=x_0\)
Het doel is een dergelijke differentiaalvergelijking op te lossen, ofwel een functie \(x(t)\) te vinden die alleen nog afhangt van de tijd. Het is niet verstandig gelijk met deze algemene vorm te beginnen. Als eerste stap in het begrijpen van diferentiaalvergelijkingen beperken we ons tot homogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde in één dimensie:
\(\frac{dx}{dt} = g(t)x\) met startwaarde(=beginconditie): \(x(t_{0})=x_0\) (1)
Ofwel de functie \(h(x)=x\) en \(f(t)=0\)
Als we in dit systeem ook de \(x\) weglaten, dan dan wordt dit systeem gereduceerd tot:
\(\frac{dx}{dt} = g(t)\) \(x(t_{0})=x_0\) (2)
Er wordt verondersteld dat je dit systeem met behulp van integreren kan oplossen tot:
\(x(t)=x(t_{0})+\int_{t_0}^t g(t)dt\) (3)
Waarschijnlijk heb je van je docent tijdens de behandeling van het onderwerp integreren al te horen gekregen dat de meeste integralen niet algebraïsch zijn op te lossen. Hier kunnen wij je al meegeven dat dit ook geldt voor differentiaalvergelijkingen. In deze cursus zul je echter veel vergelijkingen te zien krijgen die wel oplosbaar zijn.