Lokaal lineariseren

In het vorige theorieblok hebben we gezien dat we door lokaal te lineariseren uitspraken konden doen over de stabiliteit van de evenwichten \(\tilde{x}=0\) en \(\tilde{x}=C\), voor de differentiaalvergelijking:

\(\frac{dx}{dt}=r \cdot x \cdot (1 - \frac{x}{C}) \)    ; \(x(t_0)=x_0\)

Nu zullen we een techniek bespreken die het analyseren van de stabiliteit een stuk eenvoudiger maakt. Beschouw weer het meest simpele lineaire geval:

\(\frac{dx}{dt}=c \cdot x\)    ; \(x(t_0)=x_0\).

Differentieer nu het rechterdeel naar \(x\):

\(\frac{d(c \cdot x)}{dx}=c\).

Je ziet dat je nu gelijk de parameter \(c\) krijgt waarop de conditie voor stabiliteit was gebaseerd. In het geval dat \(c < 0\) hebben we al gezien dat het evenwicht \(x=0\) stabiel is. Voor \(c > 0\) is het evenwicht juist instabiel.

Hoe zit dat voor de volgende vergelijking?

\(\frac{dx}{dt}=r \cdot x \cdot (1 - \frac{x}{C}) \)    ; \(x(t_0)=x_0\)

Differentiëren naar \(x\) levert:

\(\frac{d(r \cdot x \cdot (1 - \frac{x}{C}))}{dx}=\)

\(\frac{d(r \cdot x - r \frac{x^2}{C})}{dx} = r - 2 \cdot r \frac{x}{C}\)

Invullen van de evenwichtswaarde \(\tilde{x}=0\) levert:

\(\frac{d(r \cdot x \cdot (1 - \frac{x}{C}))}{dx}(0)= r - 2 \cdot r \frac{0}{C} = r\)

Invullen van de evenwichtswaarde \(\tilde{x}=C\) levert:

\(\frac{d(r \cdot x \cdot (1 - \frac{x}{C}))}{dx}(C)= r - 2 \cdot r \frac{C}{C} = -r\)

Ook hier vinden we dus precies weer de parameters \(r\) en \(-r\) waarop de stabiliteit van respectievelijk \(\tilde{x}=0\) en \(\tilde{x}=C\) zijn gebaseerd.

Deze techniek is de standaardtechniek voor het bepalen van de stabiliteit van evenwichten voor vergelijkingen van de vorm:

\(\frac{dx}{dt}=h(x) \)    ; \(x(t_0)=x_0\)

Hieronder staat het algemene recept.