2.1 - Theorie: Uitwijking uit evenwicht
Uitwijking uit evenwicht
Hoe zit dat nu met dat evenwicht \(\tilde{x}=C\)? De redenering \(C^2 < C\) gaat niet op als \(C > 1\). Toch kunnen we hier wel iets dergelijks doen. We gaan nu een truc uit halen door over te stappen op een nieuwe variabele \(y=x-C\). Oftewel, we beschouwen de afwijking van \(x\) van het evenwicht \(\tilde{x}=C\).
Gebruiken we nu de regels van differentiëren dan geldt:
\(\frac{dy}{dt}= \frac{dx}{dt}= r \cdot x \cdot (1 - \frac{x}{C} )\)
Vervolgens werken we de \(x\) weg uit de rechtervergelijking door \(x\) te vervangen door \(y+C\):
\( r \cdot (y+C) \cdot (1 - \frac{y+C}{C})\)
\( = r \cdot (y+C) \cdot (\frac{C-y-C}{C})\)
\( = r \cdot (y+C) \cdot (\frac{-y}{C})\)
\( = r \cdot (\frac{y+C}{C}) \cdot (-y)\)
\( = - r \cdot y (1 + \frac{y}{C}) \)
\( = - r \cdot y - r \frac{y^2}{C} \)
Dus:
\(\frac{dy}{dt}= - r \cdot y - r \frac{y^2}{C} \)
Omdat \(y=0\) (ofwel \(\tilde{x}=C\)) een evenwicht is voor deze vergelijking kunnen we om dezelfde reden als hierboven concluderen dat \(y=0\) een stabiel evenwicht is als \(-r < 0\), en een instabiel evenwicht als \(-r > 0\). Voor de oorspronkelijke variabele \(x\) leidt dat tot de conclusie:
\(\frac{dx}{dt}=r \cdot x \cdot (1 - \frac{x}{C}) \) ; \(x(t_0)=x_0\)
is \(\tilde{x}=C\) een stabiel evenwicht als \(r > 0\) en een instabiel evenwicht als \(r < 0\).Stel dat \(r > 0\) is. Dan nadert een oplossing \(x(t)\) het evenwicht \(\tilde{x}=C\) in de buurt van dit evenwicht net zo snel als een oplossing \(x(t)\) zich verwijdert van het evenwicht \(\tilde{x}=0\) wanneer \(x(t)\) daar vlakbij is.
Het herschrijven zoals we dat hierboven hebben gedaan kan zeer omslachtig zijn. Gelukkig is er een methode om dit sneller te doen (zie de volgende paragraaf).