Gedrag van een oplossing in de buurt van een evenwicht

We hebben al gezien dat er één of meerdere evenwichten kunnen zijn voor lineaire en niet lineaire differentiaalvergelijkingen van de vorm:

\(\frac{dx}{dt}=h(x)\)    ; \(x(t_0)=x_0\)

De evenwichtswaarden (geven we aan met \(\tilde{x}\)) vind je door alle nulpunten te bepalen van de vergelijking \(h(x)=0\).

Belangrijke vragen in de analyse van dynamische modellen zijn:
- Is een evenwicht stabiel?
- Hoe snel nadert of verwijdert zich een niet-evenwichtsoplossing van de evenwichtstoestand?
De methode van het tekenen van een lijnelementenveld levert al veel inzicht. Er is echter ook een algebraïsche methode waarmee we de stabiliteit van een evenwicht kunnen bepalen. Deze methode geeft ons tegelijkertijd inzicht over de snelheid waarmee een oplossing \(x(t)\) zich naar of van het evenwicht beweegt.

Om inzicht in deze methode te krijgen gaan we eerst terug naar de lineaire differentiaalvergelijking.

\(\frac{dx}{dt}=c \cdot x\)    ; \(x(t_0)=x_0\).

Voor deze vergelijking is \(\tilde{x}=0\) de enige evenwichtstoestand. Als \(c<0\) dan is er een exponentiële oplossing met groeifactor \(g=e^c < 1\). Oftewel, per tijdseenheid wordt de afstand van een oplossing \(x(t)\), waarvoor \(x(t_0) \neq 0\), tot de evenwichtsoplossing \(\tilde{x}=0\) een factor \(g\) kleiner. Een oplossing komt echter nooit in \(x=0\). Evenzo wordt de afstand van een oplossing \(x(t)\), waarvoor \(x(t_0) \neq 0\), tot \(x=0\) een factor \(g=e^c\) per tijdeenheid groter wanneer \(c>0\).

In de algebraïsche techniek staat het lineaire model centraal. We gaan namelijk een differentiaalvergelijking in een evenwicht benaderen met een lineair model. Daarbij vinden we dan een \(c<0\) voor een stabiel evenwicht, of een \(c>0\) voor een instabiel evenwicht. Het ook kan gebeuren dat er \(c=0\) wordt gevonden. Dit geval laten we voorlopig buiten beschouwing.

Om de theorie te illustreren gebruiken we weer het groeimodel voor bacteriën:

\(\frac{dx}{dt}=r \cdot x \cdot ( 1 - \frac{x}{C}) \)    ; \(x(t_0)=x_0\)

met de evenwichtoplossingen \(\tilde{x}(t)=0\) en \(\tilde{x}(t)=C\). Om de techniek beter inzichtelijk te maken werken we eerst de haakjes weg:

\(\frac{dx}{dt}=r \cdot x - r \frac{x^2}{C} \)    ; \(x(t_0)=x_0\)

We kijken eerst naar het evenwicht \(\tilde{x}=0\). Beschouw nu een startwaarde \(x(t_0) > 0\), maar veel kleiner dan 1. Dus heel dicht in de buurt van het evenwicht. Voor een getal \(a\) met \(0 < a < 1\) dat wordt gekwadrateerd geldt \(a^2 < a\). Hoe kleiner \(a\), des te groter het relatieve verschil van \(a\) met \(a^2\). Zo is \((1/1000)^2\) éénduizendste kleiner dan \(1/1000\) en is \((1/1000000)^2\) wel een miljoenste kleiner dan \(1/1000000\). Kortom voor de bovenstaande vergelijking kunnen we een \(x(t_0)=x_0\) kiezen waarvoor de term \( r \frac{x^2}{C}\) verwaarloosbaar klein is en de differentiaalvergelijking te benaderen is met de differentiaalvergelijking voor exponentieële groei:

\(\frac{dx}{dt}=r \cdot x \)    ; \(x(t_0)=x_0\)

De echte oplossing zal zich in de buurt van \(x=0\) bijna gedragen als een oplossing voor het exponentiële model. Ook voor \(x(t_0) < 0\) kun je eenzelfde redenering ophouden. Dit leidt dan tot de volgende conclusie: