2.1 - Theorie: De situatie \(g(t)=1\)
De situatie \(g(t)=1\)
In dit deel beschouwen we de differentiaalvergelijkingen van de vorm:
\(\frac{dx}{dt}=h(x)\) ; \(x(t_0)=x_0\)
Laten we beginnen met het zogenoemde logistische groeimodel, dat de demograaf Verhulst heeft voorgesteld om de groei bij hoge dichtheden van \(x\) tegen te gaan.
\(\frac{dx}{dt}=r \cdot x \cdot ( 1 - \frac{x}{C}) \) ; \(x(t_0)=x_0\)
Hierin is \(r\) de maximale groeisnelheid en \(C\) het verzadigingsniveau. Hoe werkt dit model? Als \(x=0\) of \(x=C\) dan is \(\frac{dx}{dt}=0\) (Zie het linker plaatje in de figuur hieronder). Als de afgeleide gelijk aan 0 is, verandert er in het model nooit meer iets aan de toestand van \(x\), want de snelheid van verandering is dan 0. We noemen de toestanden \(x=0\) en \(x=C\) daarom evenwichten. Nu kan een evenwicht stabiel zijn of niet stabiel. Een evenwicht is stabiel als een kleine verstoring van \(x\) uit het evenwicht ertoe leidt dat een oplossing \(x(t)\) van de differentiaalvergelijking, die start in een door de verstoring veroorzaakte toestand \(x_0\), zich weer naar het evenwicht toe beweegt. Bij een instabiel evenwicht zorgt een kleine verstoring juist voor een oplossing \(x(t)\) die zich weg beweegt van het evenwicht. In de linkerfiguur zie je dat voor toestanden \(x\) met \(0<x<C\) geldt dat \(\frac{dx}{dt}>0\). Een kleine verstoring vanuit \(x=0\) naar een positieve waarde voor \(x\) zorgt ervoor dat groeisnelheid groter dan nul wordt en de populatie gaat toenemen in de richting van \(x=C\).
Een techniek, die helpt dit in te zien, is het tekenen van een lijnelementenveld zoals getekend in de onderste figuur. Om tot een lijnelementenveld te komen reken je voor een punt \((t,x)\) de snelheid van verandering \(\frac{dx}{dt}\) uit. Deze snelheid is ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van \(x(t)\) in het punt \((t,x)\). In ieder punt teken je dan een stukje van die raaklijn. Een lijnelementenveld geeft dan een idee van hoe \(x\) door de tijd (zowel toekomst als geschiedenis) heen kan bewegen door de lijnelementen aan elkaar verbonden te denken. Zo zie je dat voor \(x<0\) en voor \(x>C\) een oplossing voor toenemende \(t\) naar beneden zal bewegen (\(\frac{dx}{dt}\)<0).
Klik maar eens in de onderste applet om een oplossing te laten tekenen.
Het evenwicht \(x=0\) is dus niet stabiel. Voor zowel \(x<0\) en \(x>0\) beweegt de oplossing zich voor toenemende tijd weg van het evenwicht. Voor het evenwicht \(x=C\) is het precies andersom en beweegt de oplossing zich naar \(x=C\) toe en is daarom stabiel.
| lijnelementenveld en evenwicht voor \(\frac{dx}{dt}= x ( 1-\frac{x}{5})\) | ||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Een oplossing voor de differentiaalvergelijking \( \frac{dx}{dx}=f(x,t) \)
krijg je als je in onderstaande applet in het lijnelementen veld klikt of als je de "Simuleer"
knop indrukt. Daarna kun je het beginpunt verslepen.
\(\frac{dx}{dt}=\)
\(t_{0}=\)
\(x_{0}=\)
Vul hier je oplossing in: \(x(t)=\)
|
||||||||||||||
|
Een oplossing voor de differentiaalvergelijking \( \frac{dx}{dx}=f(x,t) \)
krijg je als je in onderstaande applet in het teknevenster klikt of als je de play
knop indrukt. Het lijnelementen veld kun je (opnieuw) laten maken door
op de knop met de rode ster te drukken. Je kunt ook een andere functie in vullen in het veld \(f(x,t)\). Daarnaast is het mogelijk om een algebraïsche oplossing in te vullen in het veld \(x(t)\). Deze kun je laten tekenen door op de knop aan het eind van de regel in te drukken. |
||||||||||||||