Inleiding

In het vorige hoofdstuk (over homogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde in één variabele) was de snelheid van verandering in de tijd lineair afhankelijk van de toestand van \(x\) op een bepaald tijdstip. De groeisnelheid kon daarbij nog afhangen van een tijdafhankelijke omgevingsfactor:

\(\frac{dx}{dt}=g(t)x\)    ; \(x(t_0)=x_0\)

In de werkelijke wereld is er meestal geen sprake van systemen waarin er slechts een lineair verband is. Laten we het voorbeeld van de bacteriën weer aanhalen. Als de concentratie van bacteriën hoog is dan gaat de groeisnelheid van de populatie omlaag. In het lineaire geval zou die groei juist blijven toenemen. Er is dus een afremming van de groei, die veroorzaakt wordt door de hoge dichtheid. De groei van de populatie is een balans van deling en sterfte van bacteriën. Het kan dus zijn dat óf het aantal delingen afneemt óf de sterfte toeneemt. Wat de oorzaak ook mag zijn, uiteindelijk kan de groei tot staan worden gebracht en blijft de concentratie bacteriën constant. Een wiskundig model voor bacteriegroei moet deze observaties ook kunnen verklaren en zal daarom niet lineair van vorm zijn. In het algemeen willen onderzoekers modellen opstellen waarin de mechanismen, die de snelheden bepalen, in wiskunde worden gevangen. We zullen dat hier nog niet uitgebreid doen omdat de meeste modellen dan al snel te ingewikkeld worden. Ons doel is jullie begrip over differentiaalvergelijkingen bij te brengen. We bekijken daarom enkele eenvoudige modellen waar we aan kunnen rekenen en waar de algemene technieken worden belicht.

Een niet lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde in één variabele heeft de volgende vorm:

\(\frac{dx}{dt}=g(t)h(x)\)     ; \(x(t_0)=x_0\)

We zullen net als in het lineaire geval eerst \(g(t)\) constant veronderstellen, en daarna het meer algemene geval bekijken waarin \(g(t)\) niet constant is.