Continue dynamische modellen

2.3 - Opgaven

Opgaven

Een oplossing voor de differentiaalvergelijking $ \frac{dx}{dx}=f(x,t) $ krijg je als je in onderstaande applet in het lijnelementen veld klikt of als je de "Simuleer" knop indrukt. Daarna kun je het beginpunt verslepen.
Je kunt ook een andere functie in vullen in het veld $\frac{dx}{dt}$.
Daarnaast is het mogelijk om een algebraïsche oplossing in te vullen in het veld $x(t)$. Deze kun je laten tekenen door op de knop "Toon oplossing" aan het eind van de regel in te drukken. Daarmee kun je controleren of jouw antwoord goed is.
De functies moeten in Javascript worden geschreven. Speciale wiskundige functies kun je vinden op b.v. w3schools.com

Modellen voor opgave 1:

Modellen voor opgave 2:

$\frac{dx}{dt}=$ $t_{0}=$ $x_{0}=$

Vul hier je oplossing in: $x(t)=$

t-as:	tmin		tmax		nt
x-as:	xmin		xmax		nx

1: opgaven evenwicht en lijnelementenveld

Gebruik bovenstaande applet. In de vragen over stabiliteit bepaal je die met behulp van het lijnelementenveld of een tekenoverzicht van de functie.

Gegeven is de differentiaalvergelijking: $\frac{dx}{dt}=2x-\frac{x^2}{8}$. Herschrijf deze in de vorm $\frac{dx}{dt}=r x ( 1-\frac{x}{C})$. Bereken algebraïsch de twee evenwichtswaarden en bepaal de stabiliteit ervan. Gegeven is de differentiaalvergelijking: $\frac{dx}{dt}=0.01x(x-4)(x-8)$. Teken de grafiek van $\frac{dx}{dt}$ zoals is gedaan in de linkerfiguur in de theorie. Bereken algebraïsch de evenwichtwaarden en bepaal de stabiliteit ervan. Gegeven is de differentiaalvergelijking: $\frac{dx}{dt}=0.01x(x-4)(x-8)(x-12)$. Teken de grafiek van $\frac{dx}{dt}$ zoals is gedaan in de linkerfiguur in de theorie. Bereken algebraïsch de evenwichtwaarden en bepaal de stabiliteit ervan. Licht de volgende bewering toe: In een één dimensionale differentiaalvergelijking is de stabiliteit van opeenvolgende evenwichten verschillend. Gegeven is de differentiaalvergelijking: $\frac{dx}{dt}=x(x-1)^2(x-2)$. Teken de grafiek van $\frac{dx}{dt}$ zoals is gedaan in de linkerfiguur in de theorie. Bereken algebraïsch de evenwichtwaarden en bepaal de stabiliteit ervan. In de vorige opgaven is er sprake van twee samenvallende evenwichten. Wat verwacht je voor de vergelijking $\frac{dx}{dt}=x(x-1)^3(x-2)$? Welke toevoeging zouden we kunnen doen aan de bewering hierboven? Gegeven is de differentiaalvergelijking: $\frac{dx}{dt}=xcos(x)$. Teken de grafiek van $\frac{dx}{dt}$ zoals is gedaan in de linkerfiguur in de theorie. Bereken algebraïsch de evenwichtwaarden en bepaal de stabiliteit ervan.

2: opgaven evenwicht en stabiliteit

Bepaal met behulp van lokaal lineariseren de stabiliteit van de evenwichten voor de volgende differentiaalvergelijkingen. Natuurlijk kun je de grafische methode uit de vorige opgaven gebruiken om je antwoorden te controleren.

$\frac{dx}{dt}=x(x-3)(x-6)$. $\frac{dx}{dt}=\sin(x)$. $\frac{dx}{dt}=\frac{x^2-9}{1+x^2}$. $\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2}(1-e^{x^2-4})$. $\frac{dx}{dt}=x(1-x^2)$. $\frac{dx}{dt}=x\,\cos(t)$. Wat gaat er hier mis?

3: opgaven oplossen niet lineaire modellen

Bereken met behulp van scheiden van variabelen de algemene oplossingen voor de onderstaande differentiaalvergelijkingen.

Modellen voor opgave 3:

$\frac{dx}{dt}=x(1-\frac{x}{2})$   ; $x(0)=1$. antwoord $\frac{dx}{dt}=-x^2+2x$   ; $x(0)=1$. antwoord $\frac{dx}{dt}=\frac{1}{x}$   ; $x(0)=1$. antwoord De oplossing uit de vorige opgave bestaat niet voor alle $t$. Geef het domein voor $t$ waarvoor de oplossing bestaat. $\frac{dx}{dt}=x^2$   ; $x(0)=1$. antwoord De oplossing uit de vorige opgave bestaat niet voor alle $t$. Geef het domein voor $t$ waarvoor de oplossing bestaat. $\frac{dx}{dt}=x(1-\frac{x}{2})\cos(t)$   ; $x(0)=1$. antwoord Een echt lastige: $\frac{dx}{dt}=x(1-x^2)$   ; $x(0)=\frac{1}{2}$. antwoord

« Vorige | Volgende »