4.1 - Theorie: Hoe kom je tot twee oplossingen? De karakteristieke vergelijking met twee complexe oplossingen.
Hoe kom je tot twee oplossingen? De karakteristieke vergelijking met twee complexe oplossingen.
In onderstaande applet kun je numerieke oplossingen starten door of in het linker venster of in het rechter venster te klikken.
De dikke blauwe lijn in de linker figuur is de toetstand \(x(t)\). De dunne grijze is
de snelheid \(\frac{dx}{dt}\).
Oplossingen kunnen worden ingevuld in het veld X(t). Druk enter dan enter om de
exacte oplossing (rood) te testen tegen de numerieke.
| t-as: | tmin | tmax | ||
| x-as: | xmin | xmax | ||
| v-as: | vmin | vmax |
Functies moeten in Javascript worden geschreven. Speciale wiskundige functies kun je vinden op b.v. w3schools.com.
Onderzoek in de bovenstaande applet het gedrag van de
differentiaalvergelijking
\(\frac{d^2x}{dt^2}=-x\)
Overtuig je zelf dat \(x_1(t)=\cos(t)\) en \(x_2(t)=\sin(t)\) aan bovenstaande vergelijking voldoen.
Toon aan dat \(x_1(t)=\cos(t)\) en \(x_2(t)=\sin(t)\) aan de voorwaarde in de stelling voldoen.
Laat \(x(t)=a\cos(t)+b\sin(t)\).
Toon algebraïsch aan dat voor de beginconditie \(x(0)=2\) en \(v(0)=1/2\) de oplossing
voor de bovenstaande vergelijking gelijk is aan:
\(x(t)=2\cos(t)+\frac{1}{2}\sin(t)\)
De karakteristieke vergelijking voor \(\frac{d^2x}{dt^2}=-x\) is
\(\lambda^2+1=0\).
Deze vergelijking heeft geen reële oplossing. Echter de wiskundigen hebben
het complexe getal \(i\) verzonnen waarvoor geldt \(i^2=-1\).
(Heb je nog nooit van complexe getallen gehoord dan kun je in de sectie complexe getallen
een introductie vinden. Heb je daar geen tijd voor of geen zin in vervolg de tekst dan
bij de onderstaande bewering).
De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn dan \(\lambda=i \vee \lambda=-i\).
Zodat volgens de methode uit de vorige sectie de volgende twee
onafhankelijke exponentiële oplossingen gevonden kunnen worden:
\(x_1(t)=e^{it}\)
en
\(x_2(t)=e^{-it}\)
Dit zijn Euler representaties van complexe getallen die als volgt kunnen worden herschreven
\(x_1(t)=e^{it}=\cos(t) + i \sin(t)\)
en
\(x_2(t)=e^{-it}=\cos(-t) + i \sin(-t)= \cos(t) - i \sin(t)\)
Nu zijn deze twee oplossingen beide te schrijven als lineaire combinaties van de eerder gevonden oplossingen \(\cos(t)\) en \(\sin(t)\). Zodat \(x_1(t)=\cos(t)\) en \(x_2(t)=\sin(t)\) ook voldoen als onafhankelijke oplossingen die samen de algemene oplossing \(x(t)=a\cos(t)+b\sin(t)\) vormen.
Nog een voorbeeld: De differentiaalvergelijking
\(\frac{d^2x}{dt^2}+2\frac{dx}{dt}+5x=0\)
heeft al karakteristieke vergelijking \(\lambda^2+2\lambda+5=0\). Deze vergelijking lossen we op met behulp van kwadraat afsplitsen:
\(\lambda^2+2\lambda+5=(\lambda+1)^2-1+5=0 \Rightarrow\)
\((\lambda+1)^2=-4 \Rightarrow\)
\(\lambda=-1+2i\)
\( \vee \)
\(\lambda=-1-2i\)
Toon met behulp van differentiëren dat de oplossingen
\(x_1(t)=e^{-t}cos(2t)\)
en \(x_2(t)=e^{-t}sin(2t)\)
aan de vergelijking \(\frac{d^2x}{dt^2}+2\frac{dx}{dt}+5x=0\) voldoen.
Toon aan dat \(x_1(t)\) en \(x_2(t)\) aan de voorwaarde in de stelling voldoen.
We kunnen dus volgens de stelling voor een specifieke \(x_0\) en \(v_0\) weer een unieke oplossing
\(x(t)=ax_1(t)+bx_2(t)=e^{-t}(a\cos(2t)+b\sin(2t))\)
vinden.
Merk op dat de term \(2\) in de geometrische functies gelijk is aan \(\frac{\sqrt{4 \cdot c -b^2}}{2}\) en dat de term \(-1\) in het exponentiele deel gelijk is aan \(\frac{-b}{2}\).
Zonder bewijs geven we weer een bewering
\(\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+cx=0\;\;;x(0)=x_0;\frac{dx}{dt}(0)=v_0\)
hoort, geldt dat \(b^2-4c < 0\) dan kunnen de twee onafhankelijke oplossingen \(x_1(t)=e^{-\frac{b}{2}t}\cos(\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}t)\) en \(x_2(t)=e^{-\frac{b}{2}t}\sin(\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}t)\) voor de differentiaalvergelijking gevonden worden.De algemene oplossing is dan gelijk aan
\(x(t)=e^{-\frac{b}{2}t} \left( a\cos(\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}t)+b\sin(\frac{\sqrt{4c-b^2}}{2}t) \right)\)