4.1 - Theorie: Hoe kom je tot twee oplossingen? De karakteristieke vergelijking met één oplossing.

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=$ $t_{0}=$ $x_{0}=$ $v_{0}=$
Vul hier je oplossing in: $x(t)=$
t-as: tmin tmax
x-as: xmin xmax
v-as: vmin vmax

Functies moeten in Javascript worden geschreven. Speciale wiskundige functies kun je vinden op b.v. w3schools.com.

Onderzoek in de bovenstaande applet het gedrag van de differentiaalvergelijking
\(\frac{d^2x}{dt^2}+4\frac{dx}{dt}+4x=0\)

Overtuig je zelf dat \(x_1(t)=e^{-2t}\) en \(x_2(t)=te^{-2t}\) aan bovenstaande vergelijking voldoen.

Toon aan dat \(x_1(t)\) en \(x_2(t)\) aan de voorwaarde in de stelling voldoen.

Laat \(x(t)=ae^{-2t}+bte^{-2t}=e^{-2t}(a+bt)\). Toon algebraïsch aan dat voor de beginconditie \(x(0)=3\) en \(v(0)=1\) de oplossing voor de bovenstaande vergelijking gelijk is aan:
\(x(t)=e^{-2t}(3+7t)\)

De karakteristieke vergelijking voor \(\frac{d^2x}{dt^2}=-x\) is

\(\lambda^2+4\lambda+4=(\lambda+2)^2=0\).

Deze vergelijking heeft slechts één oplossing namelijk \(\lambda=-2\). Zonder verder op het waarom van deze benadering van het oplossen van de differentiaalvergelijking in te gaan geven we de volgende regel.

Als in de karakteristieke vergelijking \(\lambda^2 + b\lambda + c=0\), die bij de lineaire homogene tweede orde differentiaalvergelijking

\(\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+cx=0\;\;;x(0)=x_0\;\frac{dx}{dt}(0)=v_0\)

hoort, geldt dat \(b^2-4c = 0\) dan kunnen de twee onafhankelijke oplossingen \(x_1(t)=e^{-\frac{b}{2}t}\) en \(x_2(t)=te^{-\frac{b}{2}t}\) voor de differentiaalvergelijking gevonden worden.
De algemene oplossing is dan gelijk aan
\(x(t)=(a+bt)e^{-\frac{b}{2}t}\)