We beschouwen twee toestanden \(x\) en \(y\) die de snelheid van veranderen van ieder van die twee toestanden lineair beïnvloeden. Verder nemen we aan dat er geen andere externe bron is die voor verandering zorgt. Deze aannamen geven het volgende systeem van differentiaalvergelijkingen:

\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & ax + by \\\frac{dy}{dt} & = & cx + dy \end{array} \right.\)

Met beginconditie

\(\left\{\begin{array}{lll} x(t_0) & = & x_0 \\ y(t_0) & = & y_0 \end{array} \right.\)

In dit systeem komen in het rechter deel van de vergelijking dus alleen linaire termen van \(x\) en \(y\) voor. In de definitie van het systeem zijn de parameters \(a,b,c\) en \(d\) als constante geschreven. Deze mogen voor een systeem van homogene lineaire differentiaalvergelijkingen ook best functies van \(t\) zijn. Wij zullen ons echter beperken tot constante waarden van \(a,b,c\) en \(d\).

Voor de beginconditie \(x(t_0)=0\) en \(y(t_0)=0\) zijn beide afgeleiden in het systeem op \(t=t_0\) gelijk aan nul, en verandert er dus niets aan het systeem. Kortom, het paar \(x(t)=0 \,\,\,\wedge\,\,\, y(t)=0\) is een oplossing van het systeem. Het is bovendien altijd een evenwicht van een systeem van homogene lineaire differentiaalvergelijkingen.

Zijn er nog meer evenwichten mogelijk voor een systeem van homogene lineaire eerste orde differentiaalvergelijkingen?

Voor een evenwicht moeten beide differentiaalvergelijkingen tegelijkertijd nul zijn. Dus:

\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & ax + by =0 \\\frac{dy}{dt} & = & cx + dy =0 \end{array} \right.\)

We zoeken in dit geval een oplossing van het systeem van de twee lineaire vergelijkingen:

\(\left\{\begin{array}{l} ax + by = 0 \\ cx + dy = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} y=-\frac{a}{b}x \\ y=-\frac{c}{d}x \end{array} \right.\)

Dit zijn de vergelijkingen van twee lijnen die óf snijden in het punt(0,0) als \(\frac{a}{b} \ne \frac{c}{d}\) , óf samenvallen als \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). In het laatste geval bestaat de hele lijn \(y=-\frac{a}{b}x\) uit evenwichten.

Op de vraag of er meer evenwichten mogelijk zijn is het antwoord dus positief. In de meeste gevallen is er slechts het evenwicht (0,0). Het geval van oneindig veel evenwichten kan ook optreden. Echter een eindig aantal groter dan 1 is niet mogelijk.