Continue dynamische modellen

5.1 - Theorie: Stabiliteit van het nulevenwicht $\tilde{\bar{x}}(t)=\bar{0}$

In dit deel van deze sectie zullen we ons concentreren op de stabiliteit van het nulevenwicht $\tilde{\bar{x}}(t)=\bar{0}$ en het gedrag rond dit nulevenwicht van iedere homogene lineaire differentiaalvergelijking:

$\left(\begin{array}{l} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array} \right) =\mathbf{A}\bar{x}$

We stellen nu eerst de karakteristieke vergelijking op voor deze algemene vergelijking:

$det(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})=0 \Leftrightarrow $

$\left|\begin{array}{ll}a-\lambda & b \\ c & d-\lambda \end{array}\right|=$

$(a-\lambda)(d-\lambda)-bc=$

$\lambda^2-(a+d)\lambda+ ad-bc=0$

Aangezien aan de hand de karakteristieke vergelijking en de daar uit verkregen eigenwaarden de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking wordt gevonden is het niet verwonderlijk dat de stabiliteit van het evenwicht en het gedrag rond het evenwicht ook wordt bepaald door de oplossingen van de karakteristieke vergelijking. In het bijzonder is er een classificatie mogelijk op basis van de waarden van $ad-bc$ en $a+d$ in de karakteristieke vergelijking. Besef dat $det(\mathbf{A})=ad-bc$. De som van de diagonaal elementen in een vierkante matrix noemt men ook wel het spoor (=trace in het engels) van die matrix. Hier is $spoor(\mathbf{A})=a+d$. De karakteristieke vergelijking kan dan worden herschreven tot:

$\lambda^2-spoor(\mathbf{A})\lambda + det(\mathbf{A})=0$

De bovengenoemde classificatie is dan dus naar de waarde van het spoor en de determinant van de matrix $\mathbf{A}$.

We gaan je die classificatie niet direct geven. Boven de onderstaande applet zijn een flink aantal knoppen in verschillende rijen met daarop een matrix. In de bovenste rij knoppen staan matrices die alle basispatronen voor de homogene lineaire differentiaalvergelijking geven in de meest simpele matrix vorm. Verticaal vindt je in kolommen andere matrices die echter het zelfde soort gedrag vertonen als de matrix in de bovenste rij van die kolom. Als je op een knop drukt wordt in het rechter venster het lijnelementenveld en een aantal exacte oplossingen getoond. Daar waar de eigenvectoren reële getallen bevatten is de lijn waarop de eigenvectoren liggen getekend. Onder het venster staan de twee oplossingen (eigenwaarden) van de karakteristieke vergelijking. Ook worden de formules van de oplossingen in de velden $x(t)$ en $y(t)$ aangemaakt. Als je in het rechter venster klikt wordt er een oplossing gesimuleerd in zowel het linker (tijdgrafiek) als rechter venster. De kleur groen geeft de oplossing naar de toekomst. De andere kleur de oplossing naar het verleden. Druk je op de knop oplossing dan wordt over de simulatie de werkelijke oplossing geschreven.

Druk op alle knoppen en bepaal per matrix de waarden van het spoor en de determinant en eigenwaarden van die matrix. Let vooral op de stabiliteit van het nulevenwicht en of de lijn behorende bij de eigenvectoren aantrekkend werkt of juist afstotend. Of er spiralen optreden ja of nee. Of er meerdere evenwichten zijn. Probeer eventuele vermoedens te bevestigen door andere keuzes voor $a$,$b$,$c$ en $d$ in te maken en die in de applet in te vullen. Zorg wel dat je iedere keer op [Enter] drukt om het getal te activeren.

	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII
spoor(A) det(A) gedrag
spoor(A) det(A) gedrag
spoor(A) det(A) gedrag

I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII

$t_{0}=$ $x_{0}=$ $y_{0}=$

	Matrix			Systeem	Oplossing
$\frac{dx}{dt}=\left( \begin{array}{cc} a & b \\c & d \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)$:	a=	b=	=		$x_{1}(t)=$
	c=	d=	=		$x_{2}(t)=$

t-as:	tmin	tmax
x-as:	xmin	xmax
y-as:	ymin	ymax

Functies moeten in Javascript worden geschreven. Speciale wiskundige functies kun je vinden op b.v. w3schools.com.

Als je bovenstaande opdracht hebt uitgevoerd ben je waarschijnlijk in de buurt van de onderstaande eigenschappen uit gekomen.

I	twee eigenwaarden met negatief reëel deel.	$spoor(\mathbf{A}) < 0$ en $det(\mathbf{A})\gt 0$	Dit evenwicht noemen we een stabiele knoop Spiraal als imaginair deel ongelijk nul is $spoor(\mathbf{A})^2-4det(\mathbf{A}) < 0$
II	twee reële eigenwaarden: één negatief de ander positief.	$det(\mathbf{A}) \lt 0$.	Het nulevenwicht is instabiel. Dit type wordt een zadel genoemd. De eigenruimte van de positieve eigenwaarde is aantrekkend.
III	twee eigenwaarden met positief reëel deel.	$spoor(\mathbf{A}) > 0$ en $det(\mathbf{A})\gt 0$	Dit evenwicht noemen we een instabiele knoop
IV	één negatieve eigenwaarde, de ander is nul.	$spoor(\mathbf{A}) < 0$; en $det(\mathbf{A}) = 0$.
V	één positieve eigenwaarde, de ander is nul.	$spoor(\mathbf{A}) > 0$; en $det(\mathbf{A}) = 0$.
VI	nul matrix. Alle punten zijn evenwichten. Beide eigenwaarden nul.	alle elementen in $\mathbf{A}$ gelijk aan 0.
VII	beide eigenwaarden nul, maar wel één eigenvector.	op één na alle elementen in $\mathbf{A}$ gelijk aan 0 met $spoor(\mathbf{A}) = 0$ en $det(\mathbf{A}) = 0$.
VIII	twee eigenwaarden met reëel deel gelijk aan nul maar imaginair deel ongelijk nul. (zuiver imaginaire eigenwaarden)	$spoor(\mathbf{A}) = 0$ en $det(\mathbf{A}) > 0$.	Dit evenwicht noemen we neutraal stabiel. Om het evenwicht zijn er periodieke oplossingen.

We hebben nu alle patronen van de homogene lineaire differentiaalvergelijkingen in twee dimensies met constante coëfficienten de revue laten passeren. Voor dit type differentiaalvergelijkingen is altijd een oplossing. Net als bij de lineaire differentiaalvergelijkingen in één dimensie is het soms mogelijk oplossingen te vinden voor niet homogene lineaire differentiaalvergelijkingen of wanneer de coëfficienten niet constant zijn maar varieren in de tijd. Deze materie zullen wij niet behandelen. In de volgdende sectie zullen we onze aandacht richten op niet homogene niet lineaire differentiaalvergelijkingen. We zullen daar de stabiliteit van evenwichten analyseren met behulp een lineaire benadering rond de evenwichten. Dat betekent dat we rond de evenwichten karakteristieke vergelijkingen krijgen zoals we die in deze sectie hebben behandeld. Zorg ervoor dat je theorie over de stabiliteit van het nulevenwicht goed begrijpt.

« Vorige | Volgende »

I	twee eigenwaarden met negatief reëel deel.	\(spoor(\mathbf{A}) < 0\) en \(det(\mathbf{A})\gt 0\)	Dit evenwicht noemen we een stabiele knoop Spiraal als imaginair deel ongelijk nul is \(spoor(\mathbf{A})^2-4det(\mathbf{A}) < 0\)
II	twee reële eigenwaarden: één negatief de ander positief.	\(det(\mathbf{A}) \lt 0\).	Het nulevenwicht is instabiel. Dit type wordt een zadel genoemd. De eigenruimte van de positieve eigenwaarde is aantrekkend.
III	twee eigenwaarden met positief reëel deel.	\(spoor(\mathbf{A}) > 0\) en \(det(\mathbf{A})\gt 0\)	Dit evenwicht noemen we een instabiele knoop
IV	één negatieve eigenwaarde, de ander is nul.	\(spoor(\mathbf{A}) < 0\); en \(det(\mathbf{A}) = 0\).
V	één positieve eigenwaarde, de ander is nul.	\(spoor(\mathbf{A}) > 0\); en \(det(\mathbf{A}) = 0\).
VI	nul matrix. Alle punten zijn evenwichten. Beide eigenwaarden nul.	alle elementen in \(\mathbf{A}\) gelijk aan 0.
VII	beide eigenwaarden nul, maar wel één eigenvector.	op één na alle elementen in \(\mathbf{A}\) gelijk aan 0 met \(spoor(\mathbf{A}) = 0\) en \(det(\mathbf{A}) = 0\).
VIII	twee eigenwaarden met reëel deel gelijk aan nul maar imaginair deel ongelijk nul. (zuiver imaginaire eigenwaarden)	\(spoor(\mathbf{A}) = 0\) en \(det(\mathbf{A}) > 0\).	Dit evenwicht noemen we neutraal stabiel. Om het evenwicht zijn er periodieke oplossingen.