5.2 - Opgaven

Oplossen homogene lineaire differentiaalvergelijkingen:

Hier zijn een aantal stelsels waar je ook op papier mee aan de slag kunt. Bepaal de stabiliteit en los de differentiaalvergelijkingen op:

  1. \(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & -x + \frac{1}{2}y \\\frac{dy}{dt} & = & \frac{1}{2}x - y \end{array} \right.\)

    Met beginconditie

    \(\left\{\begin{array}{lll} x(0) & = & 5 \\ y(0) & = & 6 \end{array} \right.\)

  2. \(\left(\begin{array}{l} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ll}2 & -1 \\ -3 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array} \right) \)

    Met beginconditie

    \(\left\{\begin{array}{lll} x(0) & = & 1 \\ y(t_0) & = & -1 \end{array} \right.\)

  3. \(\left(\begin{array}{l} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ll} -\frac{3}{4} & -1 \\ \frac{5}{4} & \frac{1}{4} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array} \right) \)

    Met beginconditie

    \(\left\{\begin{array}{lll} x(0) & = & 2 \\ y(t_0) & = & 2 \end{array} \right.\)

  4. \(\left(\begin{array}{l} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ll} -\frac{3}{2} & -1 \\ 1 & \frac{1}{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array} \right) \)

    Met beginconditie

    \(\left\{\begin{array}{lll} x(0) & = & 1 \\ y(t_0) & = & -2 \end{array} \right.\)


Opgaven karakteristieke vergelijking

  1. Gegeven is de differentiaalvergelijking

    \(\left(\begin{array}{l} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ll} a & -1 \\ 1 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array} \right) \)

    a. Voor welke reële waarden van \(a\) is het nulevenwicht een zadel?

    b. Voor welke reële waarden van \(a\) is er een paar complexe eigenwaarden?

    c. Voor welke reële waarden van \(a\) is het nulevenwicht stabiel?

  2. Gegeven is de differentiaalvergelijking

    \(\left(\begin{array}{l} \frac{dx}{dt} \\ \frac{dy}{dt} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ c & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array} \right) \)

    a. Voor welke reële waarden van \(c\) is het nulevenwicht een zadel?

    b. Voor welke reële waarden van \(c\) is er een paar complexe eigenwaarden?


Afsluitende groepsopdracht

  1. Maak een poster of website over het volgende model.
    Een medicijn wordt gebruikt om een hersentumor te behandelen. Laat \(x\) (mg/l) de concentratie van het medicijn in het bloed voorstellen en \(y\) (mg/l) de concentratie van het medicijn achter de bloed-hersenen barrière op \(t=0\) uur, \(x=250\) mg/l and \(y=0\). Neem aan dat de dynamica van het systeem wordt beschreven met de vergelijkingen:

    \(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & a(y-x) - bx \\ \frac{dy}{dt} & = & a(x-y) \end{array} \right.\)

    waarin \(a\) en \(b\) positieve constanten zijn en \(x \geq 0,y \geq 0\).
    1. Geef een ruwe schets van een lijnelementenveld
    2. Schrijf het systeem in matrix notatie.
    3. Bepaal de karakteristieke vergelijking in het geval \(a=0.5\) per uur en \(b=2\) per uur.
    4. Geef de oplossingen voor dit systeem.
    5. Op welk tijdstip na toediening is de concentratie in de hersenen het hoogst?
    6. Soms wil men de concentratie van het medicijn langdurig boven een bepaalde minimale concentratie houden. Op welk moment moet er een nieuwe toediening (+250mg/l bloed) worden gedaan om de concentratie op meer dan de helft van het maximum van de vorige opgave te houden?
    7. Moet de derde toediening op hetzelfde moment na de tweede worden toegediend of moet het eerder of kan het later? Motiveer je antwoord met een berekening.
« Vorige | Volgende »