Kokkels (concentratie \(k\)) en zeewier (concentratie \(w\)) leven in getijdenpoelen. De dynamica van het systeem wordt beschreven door de differentiaalvergelijking

\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dw}{dt} & = & w - w^2 - wk \\ \frac{dk}{dt} & = & wk- \frac{k}{2}-k^2 \end{array} \right.\)
\(k \geq 0\) en \(w \geq 0\).

1. Bepaal alle evenwichten in het systeem.
2. Bereken de Jacobiaan voor het systeem.
3. Stel met behulp van de Jacobiaan de karakteristieke vergelijking op voor ieder van de evenwichten
4. Bereken met behulp van de karakteristieke vergelijking de eigenwaarden en bepaal daarmee de stabiliteit en het type ((in)stabiele knoop of zadel) van ieder evenwicht.
5. Voer de vergelijking in de applet en beschrijf het gedrag voor \(t \rightarrow \infty\) voor de volgende begincondities:
   w(0)=0,k(0)=0,
   w(0)=0,k(0)=15,
   w(0)=2,k(0)=0,
   w(0)=2,k(0)=15,
6. Geef een biologische verklaring voor het model en geef de gevonden resultaten in biologische termen weer.

\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{du}{dt} & = & 1-(b+1)u+au^2v \\ \frac{dv}{dt} & = & bu - au^2v \end{array} \right.\)
waarin \(u \geq 0\) en \(v \geq 0\) en \(a\) en \(b\) positieve constanten zijn.

1. Bepaal alle evenwichten in het systeem uitgedrukt in \(a\) en \(b\).
2. Bereken de Jacobiaan voor het systeem.
3. Stel met behulp van de Jacobiaan de karakteristieke vergelijking op.
4. Los de karakteristieke vergelijking op.
5. Probeer waarden voor \(a\) en \(b\) te vinden die (i) een stabiele knoop zonder spiraal; (ii) een stabiele knoop met spiraal; (iii) een onstabiele knoop zonder spiraal; (iv) een stabiele knoop met spiraal; (v) een zadelpunt.
   Niet alle typen zijn te vinden in deze vergelijking; Geef aan waarom een type wel of niet mogelijk kan zijn.
6. Als \(u\) constant wordt gehouden op een niet negatieve waarde, wat is dan het gedrag van \(v\) voor verschillende beginwaarden \(v_0\). (Gebruik de applets).
7. Geef een chemische verklaring voor het model en geef de gevonden resultaten in chemische termen weer.

Neem aan dat de dichtheid van circulerende bloedcellen (\(x\)) wordt gecontroleerd door een hormoon (\(y\)) dat wordt geproduceerd door de bloedcellen zelf (terugkoppeling). De dynamica van dit systeem wordt beschreven met het volgende systeem

\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & \frac{2y}{1+y^2}-x \\ \frac{dy}{dt} & = & a x-y \end{array} \right.\)
\(x \geq 0\) en \(y \geq 0\).

1. Bepaal alle evenwichten in het systeem in het geval \(a=1\).
2. Bereken de Jacobiaan voor het systeem in het geval \(a=1\).
3. Stel met behulp van de Jacobiaan de karakteristieke vergelijking op enbepaal daarmee de stabiliteit van de evenwichten in het geval \(a=1\)
4. Schets het lijnelementenveld.(Gebruik de applets)
5. Kies \(x_0=10, y_0=0.1\) als beginconditie. Wat gebeurt er op de lange duur.
6. Wat gebeurd er met de evenwichten in het model als \(a\) vanaf de waarde 1 kleiner wordt tot net onder \(\frac{1}{2}\)
7. Zijn er nog waarden van \(a\) waarvoor de stabiliteit van \(a\) anders is dan die voor \(a=1\)
8. Geef een biologische verklaring voor het model en geef de gevonden resultaten in biologische termen weer.