A1. - Theorie Complexe getallen: Machtsfuncties
Bekijk de vergelijking
\(x^2+2x+10=0\)
We kunnen vergelijkingen van deze soort met behulp van kwadraat afsplitsen omzetten in de vorm \((x+d)^2=e\). De waarde van \(d\) is hierin de helft van de coëfficient \(b\) voor de term \(x\) in de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\).
De vergelijking
\(x^2+2x+10=0\)
wordt dan via
\(x^2+2x + 1^2 - 1^2 + 10=0\)
omgezet tot
\((x+1)^2=-9\)
Dit geeft dan de oplossingen
\(x+1=3i \vee x+1= - 3i\)
ofwel
\(x=-1 + 3i \vee x=-1 - 3i\)
In deze oplossing zit nu het imaginaire getal \(i\) in combinatie met de reëele getallen -1 en 3. Een dergelijke combinatie noemt men een complex getal. \(-1\) wordt het reëele deel van het complexe getal genoemd en \(3i\) het imaginaire deel.
\(z=a+bi\) is een complex getal met \(a\) en \(b\) reële getallen (\(a,b \in \mathbb{R}\)).
\(a\) is het reële deel en \(b\) is het imaginaire deel van het complexe getal.
De verzameling van alle complexe getallen wordt genoteerd door \(\mathbb{C}\)
De verzameling van alle reële getallen \(\mathbb{R}\) is een deelverzameling van \(\mathbb{C}\) ofwel \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\).
De reële getallen zijn namelijk die complexe getallen waarvoor het imaginaire gedeelte 0 is.
De kwadratische vergelijking \(a x^2 + b x + c = 0\) heeft:
twee reële oplossingen als \(b^2-4 a c > 0\),
één oplossing ofwel twee samenvallende oplossingen als \(b^2-4 a c = 0\),
twee complexe oplossingen als \(b^2-4 a c < 0\).
Dus een tweedegraads vergelijking heeft binnen de complexe getallen altijd twee oplossingen
die eventueel samen kunnen vallen.
\(a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2} + \ldots + a_2x^2 +a_1x + a_0 = 0\)
heeft \(n\) oplossingen binnen de verzameling van complexe getallen. Sommige van deze oplossingen kunnen samenvallen.
De oplossing van de derdegraads vergelijking \(z^3+az^2+bz+c=0\) in \(\mathbb{C}\) is
|
\(z=-\frac{1}{3}a+T\;\;\vee\) \(z=-\frac{1}{3}a+\frac{-T+i\sqrt{3T^2+4p}}{2}\;\;\vee\) \(z=-\frac{1}{3}a+\frac{-T-i\sqrt{3T^2+4p}}{2}\;\;\) |
Hierbij is:
\(T=\sqrt[3]{ \frac{1}{2}q+ \sqrt{ \left(\frac{1}{2}q\right)^2+\left(\frac{1}{3}q\right)^3 } }+ \sqrt[3]{ \frac{1}{2}q- \sqrt{ \left(\frac{1}{2}q\right)^2+\left(\frac{1}{3}q\right)^3 } }\), \(p=b-\frac{1}{3}a^2\) en \(q=-\frac{2}{27}a^3+\frac{1}{3}ab-c\) |