A1. - Theorie Complexe getallen: Grafische voorstelling complexe getallen

Een grafische voorstelling van een complex getal wordt gegeven door een punt in het zogenaamde complexe vlak. Dit vlak wordt gevormd door een as voor het reële deel (horizontaal) en een as voor het imaginaire deel (verticaal) van de complexe getallen. Zie de eerste applet. Een complex getal \(z=a+bi\) teken je dan op de coordinaten \((a,bi)\) in het assenstelsel.

Opdracht: In de applet hieronder kun je met de schuiven het punt \(z\) verplaatsen. Klik met de linkermuisknop op de bolletjes op de lijnen en verschuif die terwijl je de muisknop ingedrukt houdt. Onderzoek wat er gebeurt. De applet is een GeoGebra applet. Als je bekend bent met dat programma, dan kun je door dubbelklikken in de applet in GeoGebra zelf aan de slag.

Als je in de applet hiernaast of hieronder
geen punt \(Z\) in een tekening ziet download dan de geogebra bestanden voor deze applets.
complexevlak.ggb
complexevlakreIm.ggb
Voorwaarde is dat GeoGebra op je computer is geïnstalleerd.

In de bovenste applet loopt ook een vector vanuit de oorsprong naar \(z\). Deze is ook in de applet hieronder aanwezig. Deze vector heeft een lengte \(\sqrt{a^2+b^2}\). De hoek \(\phi\) die deze vector maakt met de reële as kan worden berekend met \(\phi=\tan^{-1}(\frac{b}{a})\).
De lengte van de vector noemt men de absolute waarde of modulus van \(z\). De notatie hiervoor is \(|z|\).
De hoek die de vector maakt met de reëele as noemt men het argument van \(z\). De notatie hiervoor is \(\arg(z)\).
Op basis van \(|z|\) en \(\arg(z)\) kan een complex getal ook worden geschreven als \(z=|z|( \cos(\arg(z))+i \sin(\arg(z))\). De wiskundige Euler heeft bewezen dat we ook de notatie \(z=|z|e^{i\;\arg(z)}\) kunnen gebruiken. In de tabel hier onder zijn de verschillende schrijfwijzen en de stappen om van de ene schrijfwijze naar de andere schrijfwijze weergegeven.

Opdracht: In de tweede applet hieronder kun je met de schuiven het punt \(z\) verplaatsen. Klik met de linkermuisknop op de bolletjes op de lijnen en verschuif die terwijl je de muisknop ingedrukt houdt. Onderzoek wat er gebeurt.

De verschillende schrijfwijzen van een complex getal
\(z=a+bi\) \(z=|z|( \cos(\arg(z))+i \sin(\arg(z))\) \(z=|z|e^{\arg(z)}\)
\(a=\mathrm{Re}(z)=|z|\cos(\arg(z))\)
\(bi=\mathrm{Im}(z)i=|z|\sin(\arg(\z))i\)
\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\arg(z)=\tan^{-1}(\frac{b}{a})\)
\(e^{\arg(z)}=\cos(\arg(z))+i \sin(\arg(z))\)