Rekenregels

Omdat de reële getallen een deelverzameling zijn van de complexe getallen moeten de rekenregels voor de reële getallen ook binnen de complexe getallen aanwezig zijn. Hieronder worden de rekenregels voor complexe getallen gegeven.

Laten

\(z_1=a_1+b_1 i\) en \(z_2=a_2+b_2i\)

twee complexe getallen zijn met eventueel andere schrijfwijzen

\(z_1=|z_1|e^{\arg(z_1)}\) en \(z_2=|z_2|e^{\arg(z_2)}\).

Optellen:

\(z_1+z_2=(a_1+b_1 i)+(a_2+b_2 i) = a_1+a_2+(b_1+b_2)i\)

Aftrekken:

\(z_1-z_2=(a_1+b_1 i)-(a_2+b_2 i) = a_1-a_2+(b_1-b_2)i\)

Voorbeeld \(z_1=2+i\); \(z_2=1-5i\); \(z_1+z_2=3-4i\); \(z_1-z_2=1+6i\);

Je ziet dat je bij het optellen en aftrekken van twee complexe getallen de reële delen en de imaginaire delen apart op mag tellen danwel af mag trekken. Deze vorm van optellen en aftrekken is gelijk aan het optellen en aftrekken van vectoren.

Opdracht: In de applet hieronder kun je met de schuiven het punt \(z_1\) verplaatsen. Klik met de linkermuisknop op de bolletjes op de lijnen en verschuif die terwijl je de muisknop ingedrukt houdt. Onderzoek wat er met de optelling gebeurt.

Als je in de applet hiernaast of hieronder geen punt \(Z\) in een tekening ziet druk dan op herladen of haal de geogebra bestanden voor deze applets. complexoptellen.ggb complexvermenigvuldigen.ggb Voorwaarde is dat GeoGebra op je computer is geïnstalleerd

Vermenigvuldigen:

\(z_1 \cdot z_2 =(a_1+b_1 i)\cdot(a_2+b_2 i)\)
\( = a_1 \cdot a_2 + a_1 \cdot b_2 i + b_1 i \cdot a_2 + b_1 i \cdot b_2 i \)
\( = a_1 \cdot a_2 - b_1 \cdot b_2 + (a_1 \cdot b_2 + b_1 \cdot a_2 )i\).

Voorbeeld \(z_1=2+i\); \(z_2=-1-5i\);
\(z_1 \cdot z_2=2 \cdot -1 + 2 \cdot -5 i + i \cdot -1 + i \cdot -5 i = -2 -11 i -5i^2 = 3- 11 i\);

Je ziet dat vermenigvuldigen neerkomt op het wegwerken van haakjes zoals je dat al eerder hebt gedaan. Echter we kunnen ook vermenigvuldigen door gebruik te maken van de schrijfwijze van Euler:

\(z_1 \cdot z_2 = |z_1|e^{i\;\arg(z_1)} \cdot |z_2|e^{i\;\arg(z_2)}\)
\( = |z_1|\cdot|z_2| \cdot e^{i\;\arg(z_1)} \cdot e^{i\;\arg(z_2)}=|z_1|\cdot|z_2| \cdot e^{i\;(\arg(z_1)+\arg(z_2))}\)

Een vermenigvuldiging van twee complexe getallen komt dus neer op het vermenigvuldigen van de modulus (lengten) van de twee getallen en een rotatie. Het argument van het product is de som van de de argumenten van de getallen \(z_1\) en \(z_2\).

Opdracht: In de tweede applet hieronder kun je met de schuiven het punt \(z_1\) verplaatsen. Klik met de linkermuisknop op de bolletjes op de lijnen en verschuif die terwijl je de muisknop ingedrukt houdt. Onderzoek wat er met de vermenigvuldiging gebeurt.

Opdracht: Herschrijf \(z_1=2+i\), \(z_2=-1-5i\) en \(z_1 \cdot z_2= 3- 11 i\) naar de Euler-vorm (gebruik je rekenmachine) en verifieer dat het vermenigvuldigen via de Euler-vormen inderdaad hetzelfde resultaat oplevert.

Delen:

\(\frac{z_1}{z_2} =\frac{a_1+b_1 i}{a_2+b_2 i}\)

\( = \frac{a_1+b_1 i}{a_2+b_2 i}\cdot\frac{a_2-b_2 i}{a_2-b_2 i}\)

\( = \frac{(a_1+b_1 i)(a_2-b_2 i)}{{a_2}^2+{b_2}^2}\)

\( = \frac{a_1a_2-b_1b_2i^2+(b_1a_2-b_2a_1) i}{{a_2}^2+{b_2}^2}\)

\( = \frac{a_1a_2+b_1b_2+(b_1a_2-b_2a_1) i}{{a_2}^2+{b_2}^2}\)

Je ziet dat delen neerkomt op het wegwerken van het complexe getal uit de noemer en vervolgens te vereenvoudigen. Ook delen kan met behulp van de schrijfwijze van Euler:

\(\frac{z_{1}}{ z_{2}} = \frac{ |z_{1}| e^{i\;\arg(z_1)}}{ |z_2|e^{i\;\arg(z_2)}}\)
\( = \frac{|z_1|}{|z_2|} \cdot \frac{e^{i\;\arg(z_1)}}{e^{i\;\arg(z_2)}}=\frac{|z_1|}{|z_2|} \cdot e^{i\;(\arg(z_1)-\arg(z_2))}\)

Een deling van twee complexe getallen komt dus neer op het delen van de modulus (lengten) van de twee getallen en een rotatie. Het argument van de deling is het verschil van de de argumenten van de getallen \(z_1\) en \(z_2\).

De rekenvaardigheden met complexe getallen kun je ofenen met de applet complexe getallen. Een video met instructies over het gebruik van deze applet is hier te vinden.
In de opgaven sectie staan ook nog opgaven zonder applet.