Voor de kwadratische vergelijking \(a x^2 + b x + c=0\) met \(a,b\) en \(c \in \mathbb{R}\)vindt je alle oplossingen met de abc-formule:

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}=\frac{-b}{2a} \pm \frac{1}{2a}\sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}\)

In het geval dat \(b^2-4 \cdot a\cdot c < 0\) zijn de twee oplossingen complexe getallen.

\(x_{1,2}=\frac{-b}{2a} \pm i\frac{\sqrt{4 \cdot a \cdot c - b^2}}{2a}\)

De twee complexe oplossingen verschillen alleen in het teken voor het imaginaire deel en liggen in het complexe vlak gespiegeld ten opzichte van de reële as.

Het door spiegelen van \(z\) in de reële verkregen complexe getal noemt men de geconjugeerde van \(z\). De notatie voor de geconjugeerde is \(\bar{z}\).

De twee complexe oplossingen van een kwadratische vergelijking zijn altijd een geconjugeerd paar.

Het product van een geconjugeerd paar levert altijd een positief reële getal want:

\(z \cdot \bar{z} = (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\)

Merk op dat dit ook gelijk is aan het kwadraat van de modulus van \(z\).

\(z \cdot \bar{z} = (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\)

Ook geldt:

\(\bar{z_1+z_2} = \bar{z_1} +\bar{z_2}\)

\(\bar{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}\)

Opdracht: Bewijs de laatste twee eigenschappen.