B1 - Theorie Lineaire algebra: Lineaire transformaties en matrices

Ook voor lineaire afbeeldingen is er een algebraïsche aanpak ontwikkeld. Voordat we op betekenis ingaan definiëren we eerst een matrix.

Een matrix (meervoud: matrices)

\(\mathbf{A}=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\a_{m1} & a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{array}\right)\)

is een korte notatie voor een een rij getallen geordend in \(m\) rijen (horizontaal) en \(n\) kolommen (verticaal). Het getal dat zich in de \(i\)-de rij en de \(j\)-de kolom bevindt wordt genoteerd als \(a_{ij}\). Een matrix \(\mathbf{A}\) noemen we een vierkante matrix als \(m=n\). Hoewel er veel te doen is met niet vierkante matrices is het voor de theorie die nodig is voor de differentiaal vergelijkingen voldoende als we ons waar nodig tot vierkante matrices beperken.

Optellen van twee matrices

Als twee matrices \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\) even groot zijn of wel beiden \(m\) rijen en \(n\) kolommen hebben dan kunnen twee matrices bij elkaar worden opgeteld. Net als bij de vector optelling worden de overeenkomstige elementen bij elkaar opgeteld. Het resultaat is een matrix \(\mathbf{C}\) met de zelfde dimensie als \(\mathbf{A}\) en \(\mathbf{B}\). Een voorbeeld:

Laat \(\mathbf{A}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)\) en \(\mathbf{B}=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 6 & 8 & 10 \end{array}\right)\), dan is
\(\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)+\left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 6 & 8 & 10 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & 7 \\ 10 & 13 & 16 \end{array}\right)\)

Scalaire vermenigvuldiging van een matrix

Net als bij de scalaire vermenigvuldiging van een vector kan een matrix met een getal worden vermenigvuldigd door alle elementen van de matrix met dat getal te vermenigvuldigen. Een voorbeeld

Laat \(\mathbf{A}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)\) en \(c=3\), dan is
\(\mathbf{C}=3\cdot\mathbf{A}=3 \cdot \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 6 & 9 \\ 12 & 15 & 18 \end{array}\right)\)

Vermenigvuldiging van een matrix met een vector

Een matrix \(\mathbf{A}\) met dimensie \(m\times n\) kun je met een vector \(\bar{x}\) met \(n\) elementen als volgt vermenigvuldigen:

\(\mathbf{A}\bar{v}=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\a_{m1} & a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{array}\right)=\) \(\left( \begin{array}{c} a_{11}v_1 + a_{12}v_2+ \cdots + a_{1n}v_n \\ a_{21}v_1 + a_{22}v_2+ \cdots + a_{2n}v_n \\ \vdots \\ a_{m1}v_1 + a_{m2}v_2+ \cdots + a_{mn}v_n \end{array}\right)\)

Deze vermenigvuldiging noemen we een martixvermenigvuldiging van vector \(\bar{v}\). De volgorde in de schrijfwijze is belangrijk \(\mathbf{A}\bar{v}\) is niet gelijk aan \(\bar{v}\mathbf{A}\). Merk op dat de vermenigvuldiging alleen mogelijk is als het aantal kolommen in \(\mathbf{A}\) gelijk is aan het aantal elementen ofwel de dimensie van de vector \(\bar{v}\). Een voorbeeld:

Laat \(\mathbf{A}=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array}\right)\) en \(\bar{v}= \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \end{array}\right)\), dan is
\(\mathbf{A}\bar{v}=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 2\cdot(-1) +3\cdot2 \\ 5\cdot(-1)+ 6\cdot2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 7 \end{array}\right)\)

Voor de verzameling van \(m\times n\) matrices gelden de volgende eigenschappen:

  1. \(\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}\) (commutatieve eigenschap)
  2. \(\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})=(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}\) (associatieve eigenschap)
  3. Er is een unieke \(m\times n\) matrix die we de nulmatrix \(\mathbf{0}\) noemen met de eigenschap \(\mathbf{A}+\mathbf{0}=\mathbf{A}\). De \(\mathbf{0}\) matrix is volledig gevuld met nullen.
  4. Voor elke matrix \(\mathbf{A}\) is er een unieke \(m\times n\) matrix weergegeven als \(-\mathbf{A}\) uit gesproken als min \(\mathbf{A}\) zodat \(\mathbf{A}+(-\mathbf{A})=\mathbf{0}\)
  5. \(1\cdot\mathbf{A}=\mathbf{A}\) voor iedere matrix
  6. \((a\cdotb)\mathbf{A}=a(b\mathbf{A})\) voor willekeurige getallen \(a\) en \(b\) en iedere matrix.
  7. \(a(\mathbf{A}+\mathbf{B})=a\mathbf{A}+a\mathbf{B}\)
  8. \((a+b)\mathbf{A}=a\mathbf{A}+b\mathbf{A}\)
  9. \(\mathbf{A}(\bar{u}+\bar{v})=\mathbf{A}\bar{u}+\mathbf{A}\bar{v}\) als \(\bar{u},\bar{v}\) beiden \(n\) dimensionale vectoren zijn.
  10. \((\mathbf{A}+\mathbf{B})(\bar{u})=\mathbf{A}\bar{u}+\mathbf{B}\bar{u}\) als \(\bar{u}\) een \(n\) dimensionale vector is.

Binnen de verzameling van vierkante \(n\times n\) matrices bestaat er een unieke matrix die we de eenheidsmatrix \(\mathbf{I}\) noemen waarvoor geldt:

\(\mathbf{I}\bar{u}=\bar{u}\)

als \(\bar{u}\) een \(n\) dimensionale vector is. De eenheidsmatrix heeft de volgende vorm:

\(\mathbf{I}=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 1& \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\0& 0& \cdots & 1 \end{array}\right)\)

Een interpretatie van lineaire transformaties

Eerder hebben we gezegd dat er een algebraïsche aanpak is om puntenverzamelingen te kunnen spiegelen, roteren, vergroten en strekken om tot een beeld van die puntenverzameling te komen. Algebraïsch wordt een lineaire afbeelding binnen een vectorruimte van dimensie \(n\) (dat wil zeggen origineel en beeld liggen beide in \(V\)) gedefinieerd door een vierkante \(n\times n\) matrix. We zullen aan de hand van een aantal geogebra applets laten zien wat je in twee dimensies zoal kunt verwachten.

Spiegelen:

Spiegelen als lineaire transformatie doe je in twee dimensies in een punt of een lijn door de oorsprong. In de applet hieronder zijn matrices gegeven voor spiegeling in de oorsprong \(\mathbf{A}\) en in \(x\)-as \(\mathbf{B}\) en de in \(y\)-as \(\mathbf{C}\):

\(\mathbf{A}\bar{u}=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} u_x \\ u_y \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} -u_x \\ -u_y \end{array}\right)\)

\(\mathbf{B}\bar{u}=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} u_x \\ u_y \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} u_x \\ -u_y \end{array}\right)\)

\(\mathbf{C}\bar{u}=\left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} u_x \\ u_y \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} -u_x \\ u_y \end{array}\right)\)

In de applet kun je de coördinaten van de vector \(\bar v\) veranderen. Doe dat en analyseer de resultaten.

De geogebrabestanden in de applets zijn:
.
vectorschalen.ggb
vectorspiegelen.ggb
vectorroteren.ggb
vectorvrij.ggb
Voorwaarde is dat geogebra op je computer is geïnstalleerd

Schalen:

Schalen ofwel de grootte van een vector veranderen kan op veel manieren. De applet hieronder biedt de mogelijkheid om de coördinaten van \(\bar v\) in de \(x\)-richting en \(y\)-richting afzonderlijk met een constante te vermenigvuldigen.

\(\mathbf{A}\bar{u}=\left( \begin{array}{cc} a_{11} & 0 \\ 0 & a_{11} \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} u_x \\ u_y \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} a_{11}u_x \\ a_{22}u_y \end{array}\right)\)

Verander de coëfficienten \(a_{11}\) en \(a_{22}\) en analyseer de resultaten.

Roteren

Een rotatie in om de oorsprong over een hoek \(\alpha\) radialen tegen de klok in wordt beschreven door de matrix

\(\mathbf{A}=\left( \begin{array}{cc} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{array}\right)\)

In de applet hieronder kun je de hoek \(\alpha\) voor de transformatie veranderen en je kunt de lengte van de beeldvector met de constante \(c\) schalen. Doe dit en analyseer de resultaten.

Vrij

Op wikipedia worden nog een aantal speciale transformaties geboden. Probeer deze eens uit op de driehoek hieronder.

Lees eerst onderstaande tekst over samenvoegen van lineaire combinaties. Probeer daarna eens zelf samengestelde transformaties uit te rekenen uitgaande van de voorbeelden in de bovenstaande applets.

Samenvoegen lineaire transformaties

Lineaire transformaties kunnen ook gecombineerd worden. Je kan bijvoorbeeld een vector \(\bar u\) eerst roteren met een matrix \(\mathbf{A}\). Dit levert beeldvector \(\bar v\). Daarna zou je \(\bar v\) kunnen spiegelen met een matrix \(\mathbf{B}\) met als resultaat vector \(\bar w\). Dus

\(\left\{ \begin{array}{cc} \bar v = \mathbf{A} \bar u \\ \bar w = \mathbf{B} \bar v \end{array}\right.\)

Als we nu in de laatste verglijking \(\bar v\) vervangen door de berekening van \(\bar v\) uit \(\bar u\) dan krijgen we

\(\bar w = \mathbf{B} \mathbf{A} \bar u \).

Als we iets als \(\mathbf{C} = \mathbf{B} \mathbf{A}\) zouden kunnen uitrekenen dan zouden we de afbeelding van \(\bar u\) naar \(\bar w\) als één lineaire transformatie weergegeven door de matrix \(\mathbf{C}\) kunnen zien. Laten we eens in twee dimensies kijken hoe dat werkt.

Laat \(\bar u = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)\), \(\mathbf{A}=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\) en \(\mathbf{B}=\left( \begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array}\right)\)

Dan is

\(\begin{array}{ll} \bar w = \mathbf{B} \mathbf{A} \bar u & = \left( \begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} e & f \\ g & h \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} ax+by \\ cx+dy \end{array}\right) \\ & = \left( \begin{array}{c} e(ax+by)+f(cx+dy) \\ g(ax+by)+h(cx+dy) \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} (ea+fc)x+(eb+fd)y \\ (ga+hc)x+(gb+hd)y \end{array}\right) \\ & = \left( \begin{array}{cc} ea+fc & eb+fd \\ ga+hc & gb+hd \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \mathbf{C}\bar u \end{array}\)

Je ziet dat er inderdaad een matrix \(\mathbf{C}\) gevonden kan worden. Als je in het product \(\mathbf{B} \mathbf{A}\) iedere kolom in \(\mathbf{A}\) als een vector ziet observeer dan dat iedere kolom in \(\mathbf{C}\) verkregen kan worden door \(\mathbf{B}\) met de corresponderende kolom in \(\mathbf{A}\) te vermenigvuldigen alsof het een matrixvermenigvuldiging met een vector is.

Voorbeeld: Laat \(\mathbf{A}=\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\) en \(\mathbf{B}=\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array}\right)\) dan is
\( \mathbf{C} = \mathbf{B} \mathbf{A} = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc} 2\cdot3+1\cdot1 & \;\;\; & 2\cdot0+1\cdot2 \\ 4\cdot3+3\cdot1 & \;\;\; & 4\cdot0+3\cdot2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 15 & 6 \end{array}\right)\)

Ook hier is de volgorde belangrijk, uitzonderingen daar gelaten geldt meestal: \(BA \ne AB\). In ons voorbeeld geldt ook dat \(BA \ne AB\):

\( \mathbf{A} \mathbf{B} = \left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc} 3\cdot2+1\cdot4 & \;\;\; & 3\cdot1+1\cdot3 \\ 0\cdot2+2\cdot4 & \;\;\; & 0\cdot1+2\cdot3 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{cc} 10 & 6 \\ 8 & 6 \end{array}\right)\)