9 De stap naar 3D

Nu zijn we aan het einde gekomen van alle benodigde theorie in het projectieve vlak. We willen echter 3D tekeningen en animaties in perspectief kunnen maken. Daartoe is het nodig om ook de stap van de euclidische ruimte naar de projectieve ruimte te maken. Je zal zien dat we de theorie die we voor het projectieve vlak hebben opgesteld direct kunnen gebruiken in de projectieve ruimte. Er is alleen een probleem met het opstellen van een drie dimensionale rotatie.

We zetten de transformaties nogmaals op een rij en gebruiken direct de projectieve meetkunde. In de euclidische ruimte heeft een punt of vector drie coördinaten die weer uitgebreid wordt met een vierde coördinaat om naar de projectieve ruimte te komen:

De projectieve ruimte is dus een vier dimensionale ruimte. Een punt in de projectieve ruimte is weer een lijn door de oorsprong. Een lijn is in die ruimte weer een vlak door de oorsprong. Extra is nu het vlak in de projectieve ruimte. Dit is nu een drie dimensionale ruimte die de oorsprong bevat. De euclidische ruimte krijgen we door de vierde coördinaat in de projectieve weergave van een punt weer naar 1 te schalen.

Translatie:

Een translatie (verplaatsing) over de euclidische vector $\overrightarrow{t}$ in 3D $\left(a,b,c\right)$ wordt dan de projectieve ruimte gegeven door de matrix:

Schalen:

Vergroten van een of meerdere coördinaten van vector kan worden uitgevoerd door vermenigvuldigen met de matrix:

Spiegelen:

Spiegelen kan behalve in de oorsprong en de assen nu ook in vlakken plaatsvinden. Spiegelen in andere lijnen en vlakken is lastiger. Daar kijken we straks naar.

Je ziet in dat in de rotatie om de $y$-as het minteken bij de sinus van plek is gewisseld. Dit komt omdat als je vanuit de $y$-as naar het $xz$ vlak kijkt, de positieve $x$-as de verticale-as is en de de positieve $z$-as de horizontale-as.

N.B.: Iedere rotatie om de oorsprong kan altijd door rotaties om slechts twee van de assen worden beschreven. De keuze welke twee assen je neemt is hierin vrij.

Spiegelen en rotatie om een lijn niet door de oorsprong:

Bij een spiegeling of rotatie om een lijn, die niet door de oorsprong gaat, moeten we net als bij het spiegelen in 2D eerst met een samengestelde transformatie de lijn op één van de assen leggen, dan doen we de spiegeling of rotatie vervolgens passen we de inverse van de transformatie weer toe. Dit klinkt eenvoudig, echter om een willekeurige lijn op een as te krijgen zijn meestal een translatie en twee rotaties nodig. We zullen dit nogal lastige proces illustreren aan de hand van een voorbeeld.

Vraag:
Gegeven is de lijn door de euclidische punten $P=\left(1,2,1\right)$ en $Q\left(-1,3,2\right)$ waarom we het punt $K=\left(1,1,1\right)$ om een hoek van $\pi ∕6$ radialen ($=30^{\circ }$) willen draaien.

Antwoord:

• Stap over op de projectieve ruimte zodat $P_p=\left(1,2,1,1\right)$ en $Q_p\left(-1,3,2,1\right)$.
• Transleer de te spiegelen objecten over b.v. de vector $-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}\hfill -1,-2,-1\hfill \end{array}\right)$. Dit geeft de translatie matrix
  $$T=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill -2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill -1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$$

  We weten ook gelijk dat de inverse $T^{-1}$ van $T$ gelijk is aan:

  $$T^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$$

• toon dit aan door te laten zien dat $T^{-1}T=I_4$
• Vervolgens berekenen we de verschilvector $v=Q-P=\left(\begin{array}{c}\hfill -2\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)$ die de richting van de lijn door $P$ en $Q$ weergeeft.
• Deze roteren we eerst naar bijvoorbeeld het $x,z$ vlak door de lijn door $v$ om de z-as te draaien. De hoek die $v$ maakt met het $x,z$ vlak kan als volgt bepaalt worden:
  Kijk loodrecht van boven op het $x,y$ vlak en bekijk de projectie $u$ van $v$ op dit vlak. In het $x,y$ vlak heeft deze de richting $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}\hfill -2\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)$. De hoek ${\beta }_z$ waarom we $v$ om de $z$-as moeten draaien is dan ${\beta }_z=-{tan}^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right)=-{tan}^{-1}\left(-1∕2\right)=0.464$. Zodat
  $$R_z=\left(\begin{array}{cccc}\hfill cos\left(0.464\right)\hfill & \hfill -sin\left(0.464\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill sin\left(0.464\right)\hfill & \hfill cos\left(0.464\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\mathrm{en}{R}_z^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}\hfill cos\left(-0.464\right)\hfill & \hfill -sin\left(-0.464\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill sin\left(-0.464\right)\hfill & \hfill cos\left(-0.464\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$$

  Het beeld $v^{\prime }$ van $v$ is dan: $\left(\begin{array}{cccc}\hfill cos\left(0.464\right)\hfill & \hfill -sin\left(0.464\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill sin\left(0.464\right)\hfill & \hfill cos\left(0.464\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\hfill -2\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill -2.236\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)$
  Omdat de tweede coördinaat van $v^{\prime }$ gelijk is aan 0, ligt $v^{\prime }$ dus in het $x,z$ vlak.

• Als we in het $x,z$ vlak naar de $x$ -as toe draaien, draaien we naar de verticale as. Naar de horizontale as (in dit geval de $x$ -as) draaien is een draaiing over de hoek $\alpha$ , waarin $\alpha$ de hoek is die een vector in het $x,z$ vlak maakt met de horizontale as. Een draaiing naar de verticale as is dan een draaiing om een hoek van $\frac{{\pi }_{}^{}}{2_{}^{}}-\alpha$. In het $x,z$ vlak draaien we $v^{\prime }$ dus op de $x$ -as door om de $y$ -as te draaien om hoek ${\beta }_Y=\frac{{\pi }_{}^{}}{2_{}^{}}-\alpha$ gegeven door
  ${\beta }_Y=\frac{{\pi }_{}^{}}{2_{}^{}}-{tan}^{-1}\left(\frac{v_x^{\prime }}{v_z^{\prime }}\right)=\frac{{\pi }_{}^{}}{2_{}^{}}-{tan}^{-1}\left(\frac{{-2.236}_{}}{1_{}}\right)=2.721$
  Zodat
  $$R_y=\left(\begin{array}{cccc}\hfill cos\left(2.721\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill sin\left(2.721\right)\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill -sin\left(2.721\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill cos\left(2.721\right)\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\mathrm{en}{R}_y^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}\hfill cos\left(-2.721\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill sin\left(-2.721\right)\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill -sin\left(-2.721\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill cos\left(-2.721\right)\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$$

  Het beeld $v^{″}$ van $v^{\prime }$ is dan: $\left(\begin{array}{cccc}\hfill cos\left(2.721\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill sin\left(2.721\right)\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill -sin\left(2.721\right)\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill cos\left(2.721\right)\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\hfill -2.236\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill -2.449\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill \end{array}\right)$

• We zien nu dat $v^{″}$ langs de $x-as$ ligt. Als laatste hebben we nu nog de rotatie matrix om een draaiing om de $x$-as met de gewenste hoek van $\pi ∕6$ radialen nodig:
  $$R_x=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill cos\left(\pi ∕6\right)\hfill & \hfill -sin\left(\pi ∕6\right)\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill sin\left(\pi ∕6\right)\hfill & \hfill cos\left(\pi ∕6\right)\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$$

• De verschillende versies van $v$ hebben we alleen uitgerekend om inzicht in het proces te geven. We zijn echter geïnteresseerd in het beeld van $K^{\prime }$ van $K$ als gevolg van een rotatie om de lijn $PQ$. De berekening die $K^{\prime }$ levert is nu gelijk aan:
  $$K^{\prime }=T^{-1}{R}_z^{-1}{R}_y^{-1}{R}_x{R}_y{R}_{z}TK$$

  Eerst is $T$ op $K$ toegepast vervolgens $R_z$ gevolgd door $R_y$, enz..

• Definieer de transformatie $G=T^{-1}{R}_z^{-1}{R}_y^{-1}{R}_x{R}_y{R}_{z}T$ dan is $K^{\prime }=GK$

Opgaven:

70.

Bereken eerst de matrix $G$ en bereken daarmee het beeld van $K$. Bereken ook het beeld van het punt $L=\left(2,2,2\right)$.

71.

Bereken $G^{-1}$ en bepaal wat het origineel $H$ was voor het beeldpunt $H^{\prime }=\left(3,3,3\right)$ van de transformatie $G$.

72.

Gegeven is het punt $P=\left(1,1,0\right)$.

a)

Bepaal het beeld $P^{\prime }$ door $P$ te draaien om de $x$-as met hoek ${\beta }_x=\pi ∕6$ radialen

b)

Bepaal het beeld $P^{″}$ door $P^{\prime }$ te draaien om de $x$-as met hoek ${\beta }_y=\pi ∕4$ radialen

c)

Bepaal het beeld $P^{‴}$ door $P^{″}$ te draaien om de $z$-as met hoek ${\beta }_z=\pi ∕2$ radialen

73.

Gegeven is de lijn door de euclidische punten $P=\left(1,1,1\right)$ en $Q\left(2,2,2\right)$. Bepaal het het beeldpunt $K^{\prime }$ door het punt $K=\left(1,0,0\right)$ om een hoek van $\pi ∕2$ radialen ($=90^{\circ }$) om de lijn $PQ$ te draaien.