3.1 - Theorie: Lijnelementenvelden

Lijnelementenvelden

In dit deel van de cursus richten we ons de differentiaalvergelijking van de eerste orde in één variabele van de vorm:

\(\frac{dx}{dt}=g(t) x + f(t)\;\;\;\;\;\;\;;x(t_0) =x_0\)

Tot nu toe is de situatie \(f(t)=0\) aan bod geweest. We gaan nu situaties bekijken waarin dit niet het geval is. Ook hier komen de makkelijke vormen eerst en breiden we deze langzaam uit naar ingewikkelder vormen. De makkelijkste start die we kunnen bedenken is de lineaire vorm:

\(\frac{dx}{dt}=p \cdot x + q \cdot t\)    ;\(x(t_0) =x_0\)



Opdracht

Voor we de strategie voor het vinden van exacte oplossingen voor deze vergelijking verklappen, gaan we eerst de lijnelementenvelden voor een aantal voorbeelden onderzoeken met behulp van de onderstaande applet. Druk op de knoppen om de verschillende differentiaalvergelijkingen in de applet te laden. Bij sommige modellen verschijnt een oplossing voor bepaalde begincondities. Je kunt zelf oplossingen toevoegen door in het tekenvester te klikken of een algebraïsche vergelijking in te vullen. Deze kun je laten tekenen door op de knop "Toon oplossing" aan het eind van de regel in te drukken. Daarmee kun je controleren of jouw antwoord goed is.
De functies moeten in Javascript worden geschreven. Speciale wiskundige functies kun je vinden op b.v. w3schools.com

De vragen die je bij je onderzoek moet oplossen zijn:
  • Wat is de overeenkomst tussen de modellen?
  • Wat is het verschil tussen de modellen?
  • Kan ik iets over het asymptotisch gedrag zeggen?
  • Kan ik algemene conclusies trekken op basis van de waarden voor \(p\) en \(q\)?


$\frac{dx}{dt}=$ $t_{0}=$ $x_{0}=$
Vul hier je oplossing in: $x(t)=$
t-as: tmin tmax nt
x-as: xmin xmax nx

Je hebt het heel goed gedaan als je ongeveer de volgende conclusies hebt getrokken:

Wat is de overeenkomst tussen de modellen?
Alle modellen lijken een rechte lijn als oplossing te hebben.

Wat is het verschil tussen de modellen?
Bij sommige modellen gaat de lijn omhoog bij ander naar beneden.

Kan ik iets over het asymptotisch gedrag zeggen?
Bij sommige modellen bewegen de overige oplossingen zich in de tijd naar de rechte lijn toe. Bij andere modellen bewegen de overige oplossingen zich juist van de rechte lijn af.

Kan ik algemene conclusies trekken op basis van de waarden voor \(q\) en \(p\)?
  • Voor modellen waar \(p > 0\) beweegt de oplossing zich van de rechte lijn af.
  • Voor modellen waar \(p < 0\) beweegt de oplossing zich naar de rechte lijn toe.
  • Voor modellen waar \(q/p < 0\) heeft de lijn een positieve richtingscoëfficient.
  • Voor modellen waar \(q/p > 0\) heeft de lijn een negatieve richtingscoëfficient.
« Vorige | Volgende »