"Je bent een chaotisch persoon!". Daaronder versta je waarschijnlijk dat een persoon zich in hoge mate wanordelijk of onvoorspelbaar gedraagt. De term chaos in de wiskunde van dynamische systemen is binnengeslopen door het ogenschijnlijk wanordelijk gedrag van oplossingen. De eerste persoon die het fenomeen chaos ontdekte in de wiskunde was Jules Henri Poincaré (29 April 1854 - 17 July 1912) in zijn onder zoek aan het "three-body problem" (de mechanica van drie elkaar aantrekkende hemellichamen). Hij legde met zijn onderzoek de fundamenten van de moderne chaos theorie. De komst van de computer heeft de analyse van dynamische systemen eigenlijk pas echt mogelijk gemaakt. Vandaar dat de wiskunde aan dit soort systemen wiskundig gezien nog zo pril is.

Edward Lorenz ontdekte in 1961 met zijn toen nog zeer matig presterende computer (Royal McBee LGP-30) het effect van beginwaardeafhankelijkheid (het belangrijkste kenmerk van chaos) in zijn simulaties voor weersvoorspellingen. Tijdens een simulatie van het weer wilde hij een reeks van cijfers nog een keer zien. Om tijd te besparen startte hij de nieuwe simulatie in het midden van de vorige door de cijfers, die hij in de eerste simulatie had laten printen, opnieuw in te typen. Tot zijn verbazing was de weersverwachting volledig anders dan de voorspelling op basis van zijn eerste simulatie. Lorenz kwam er achter dat dit lag aan de afdruk van de simulatie. De computer werkte met een precisie van 6 decimalen. De afdruk was in 3 decimalen. Zo werd bijvoorbeeld 0.506127 afgedrukt als 0.506. Volgens de destijds gangbare denkbeelden zou een dergelijk klein verschil nauwelijks effect hebben op de uitkomst. Echter Lorenz had nu aangetoond dat kleine verschillen in de beginwaarden tot grote verschillen op de lange duur kunnen leiden. Lorenz's ontdekking bewees dat weersvoorspellingen van meer dan een week niet zinvol kunnen zijn.

Het is tijd om eens een gevoel te krijgen hoe chaos er uit kan zien. Het is gebleken dat er voor chaos in een autonoom systeem van differentiaalvergelijkingen minstens drie variabelen nodig zijn. Lorenz gebruikte aanvankelijk een model met 12 variabelen. In zijn zoektocht naar de bron van zijn beginwaardeafhankelijkheid is hij samen met medeonderzoekers uitgekomen op het volgende sterk versimpelde model:

\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & -\sigma x+\sigma y \\\frac{dy}{dt} & = & -xz+rx-y \\ \frac{dz}{dt} &=& xy-bz \end{array} \right.\)

Hierin zijn \(\sigma,r\) en \(b\) constante parameters van het model. Dit model heeft nog steeds een meteorologische betekenis. Het voert echter te ver om dit hier uit te leggen.

Het uitzoeken van de betekenis van dit model en de wiskundige aanpak zou een leuk onderwerp kunnen zijn voor de poster.

In de applet hieronder worden voor de bovenstaande vergelijking drie situaties ter simulatie aangeboden. Er zijn groene en paarse oplossingen. De beginwaarden voor de paarse oplossingen zijn een factor 1.001 verschillend ten opzichte van de groene oplossingen. Kijk vooral naar de verschillen tussen twee simulaties in het venster rechtsonder. Heb wel geduld want soms komen de verschillen pas later tot stand. Het venster rechtsboven is een 3D tekening. Die kun je met de muis een ander aanzicht geven. Druk de rechtermuisknop in en houd die vast terwijl je hem beweegt. Druk zo af en toe op de knop clear om het verschil tussen de oplossingen beter te kunnen bekijken. Je kunt ook andere begincondities invoeren. Of compleet andere systemen. De systemen kunnen hier echter geen functies van \(t\) bevatten.

Ontdek de verschillen.

Lorenz	\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & -10x+10y \\\frac{dy}{dt} & = & -xz+0.5x-y \\ \frac{dz}{dt} &=& xy-8z/3 \end{array} \right.\)	\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & -10x+10y \\\frac{dy}{dt} & = & -xz+20x-y \\ \frac{dz}{dt} &=& xy-8z/3 \end{array} \right.\)	\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & -10x+10y \\\frac{dy}{dt} & = & -xz+30x-y \\ \frac{dz}{dt} &=& xy-8z/3 \end{array} \right.\)
Rössler	\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & -y-z \\\frac{dy}{dt} & = & x+0.1y \\ \frac{dz}{dt} &=& 0.1+(x-4)z \end{array} \right.\)	\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & -y-z \\\frac{dy}{dt} & = & x+0.1y \\ \frac{dz}{dt} &=& 0.1+(x-6)z \end{array} \right.\)	\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & -y-z \\\frac{dy}{dt} & = & x+0.1y \\ \frac{dz}{dt} &=& 0.1+(x-8.5)z \end{array} \right.\)	\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & -y-z \\\frac{dy}{dt} & = & x+0.1y \\ \frac{dz}{dt} &=& 0.1+(x-14)z \end{array} \right.\)

Reset Simuleer Vervolg Simulatie Stop Simulatie Verwijder numerieke oplossing integration step= integration interval= t-as: tmax max points x-as: $\frac{dx}{dt}=$ \(x_{0}=\) xmin xmax y-as: $\frac{dy}{dt}=$ \(y_{0}=\) ymin ymax z-as: $\frac{dz}{dt}=$ \(z_{0}=\) zmin zmax

Functies moeten in Javascript worden geschreven. Speciale wiskundige functies kun je vinden op b.v. w3schools.com.

Het tweede systeem in de applet is door de Duitse wetenschapper O.Rössler gevonden. Het model is puur wiskundig en is bedacht met de bedoeling een zo simpel mogelijk model te vinden waarin chaos optreedt. Het door hem gevonden systeem is

\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & -y-z \\\frac{dy}{dt} & = & x+ay \\ \frac{dz}{dt} &=& b+(x-c)z \end{array} \right.\)

Met \(a,b\) en \(c\) constante parameters in het model. In de applet is \(a=0.1\) en \(b=0.1\). De waarden van \(c\) zijn verschillend.

Opdracht: Er staan vier simulaties voor je klaar. De laatste simulatie is er een met chaos. Ontdek de verschillen. Probeer ook eens voor \(c\) de waarden: 6 en 8.7

Nu je een beetje gespeeld hebt met de modellen geven we nu de definitie van deterministische chaos.