B1 - Theorie Lineaire algebra: Vectorruimte: Rekenen
Optellen
In natuurkunde lessen heb je waarschijnlijk al vectoren bij elkaar opgeteld met de kopstaart methode. Als je in deze methode twee vectoren \(\bar v\) en \(\bar w\) bij elkaar wil optellen neem je één van die vectoren bijvoorbeeld \(\bar v\) en plakt die met zijn staart (begin) aan de kop (eind) van \(\bar w\). Even een voorbeeld:
\(\bar{v}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)\;\;\)en\(\;\;\bar{w}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right)\).
In de som \(\bar{v}+\bar{w}\) ga je eerst van de oorsprong naar het punt \(P=(1,2)\) vandaar uit ga je 2 eenheden in de \(x\) richting en \(-1\) eenheden in de \(y\) richting en kom je uit in het punt \(Q=(3,1)\). Je kunt nu ook een pijl trekken vanuit de oorsprong naar \(Q\). Als we die de vector \(\bar{u}\) noemen dan is
\(\bar{u}=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right)\;\;\)
ofwel
\(\bar{u}=\bar{v}+\bar{w} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 1+2 \\ 2-1 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array}\right)\).
Het optellen van twee vectoren komt dus algebraïsch neer op het optellen van de overeenkomstige getallen in die vectoren.
Vermenigvuldigen met een getal
Stel je telt de vector \(\bar{v}\) een aantal keer bij zichzelf op, bijvoorbeeld drie keer, dan krijg je
\(\bar{u}=\bar{v}+\bar{v}+\bar{v}= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 1+1+1 \\ 2+2+2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 3\cdot1 \\ 3\cdot2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}\right)\).
Deze observatie nodigt natuurlijk uit tot een gewenste schrijfwijze:
\(\bar{u}=\bar{v}+\bar{v}+\bar{v} =3\cdot\bar{v}=3\cdot\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 3\cdot1 \\ 3\cdot2 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 3 \\ 6 \end{array}\right)\)
waarin we een vector dus met een getal vermenigvuldigen. Een vermenigvuldiging van een vector met een getal noemen we een scalaire vermenigvuldiging.
De twee processen namelijk vector optelling en scalaire vermenigvuldiging die als resultaat weer een vector leveren leiden tot de volgende set eigenschappen die voldoen voor de verzameling van alle vectoren \(V\) in een bepaalde dimensie. De verzameling van vectoren \(V\) in een bepaalde dimensie noemt men een vectorruimte. Vectorruimtes zijn er onder andere ook voor vectoren waarvan de elementen complexe getallen zijn.
Een vectorruimte \(V\) is een verzameling vectoren met de volgende eigenschappen (\(\bar{u}\),\(\bar{v}\),\(\bar{w}\) zijn vectoren \(a,b\) zijn getallen):
- \(\bar{u}+\bar{v}=\bar{v}+\bar{u}\) (commutatieve eigenschap)
- \(\bar{u}+(\bar{v}+\bar{w})=(\bar{v}+\bar{u})+\bar{w}\) (associatieve eigenschap)
- Er is een unieke vector in \(V\) die we de nulvector \(\bar0\) noemen met de eigenschap \(\bar{u}+\bar0=\bar{u}\) voor iedere vector \(\bar{u}\) in \(V\)
- Voor elk element \(\bar{u}\) in \(V\) is er een uniek element weergegeven als \(-\bar{u}\) uit gesproken als min \(\bar{u}\) zodat \(\bar{u}+(-\bar{u})=\bar0\)
- \(1\cdot\bar{u}=\bar{u}\) voor iedere \(\bar{u}\) in \(V\)
- \((a\cdot b)\bar{u}=a(b\bar{u})\) voor willekeurige getallen \(a\) en \(b\) en iedere \(\bar{u}\) in \(V\)
- \(a(\bar{u}+\bar{v})=a\bar{u}+a\bar{v}\)
- \((a+b)\bar{u}=a\bar{u}+b\bar{u}\)