Continue dynamische systemen
Wat is een dynamisch systeem
Dynamische systemen zijn systemen die veranderlijk zijn. Eigenlijk kun je je beter afvragen welk verschijnsel niet een dynamisch systeem is. Bijna alles om je heen is voortdurend aan verandering onderhevig:
- Sterrenstelsels, zonnestelsels en planeten die om sterren draaien zijn voorbeelden van objecten die ten opzichte van onze menselijke tijdschaal langzaam veranderen.
- Het klimaat, de ontwikkeling van de economie en je lichaam zijn systemen die sneller veranderen.
- Veranderingen in het weer, de waarden van een aandeel, de afbraak van alcohol in je lichaam vinden op een nog kleinere tijdschaal plaats.
- Dan zijn er ook nog heel snelle reacties zoals de toestand van je zenuwcellen, de verplaatsing van watermoleculen in een beek, chemische reacties en als meest extreme voorbeeld de verplaatsing van licht.
Je ziet dynamische systemen zijn overal. Wij als mensheid willen graag deze veranderingen begrijpen: wat is de oorzaak van de veranderingen, waar leiden ze toe, kan het systeem worden veranderd, etc....
In de sectie filmpjes zijn een paar voorbeelden van dynamische systemen te vinden.
Waarom wiskunde
Sommige van deze dynamische systemen kunnen in detail door wiskundige modellen worden beschreven (bijvoorbeeld radioactief verval). Voor andere kan een wiskundig aanpak een hulpmiddel zijn in het begrijpen van mechanismen, en is het model meestal een versimpeling van de werkelijkheid (bijvoorbeeld bij het functioneren van het heelal). In een economisch model voor de waarde van een aandeel wil men graag voorspellingen doen. Zo'n model is echter nooit precies te maken omdat er zo verschrikkelijk veel invloeden zijn die op een bepaald moment een verandering in de waarde van een aandeel teweeg kunnen brengen. Voor weer andere dynamische systemen is het nog vrijwel onmogelijk om met een wiskundig model zinvol onderzoek te doen (bijvoorbeeld bij het functioneren van onze hersenen). Vaak vindt er voor systemen binnen deze laatste categorie wel modelvorming plaats voor onderdelen van het systeem.
Wat voor wiskunde
Deze cursus gaat over de wiskundige aanpak van dynamische modellen en over continue dynamische modellen in het bijzonder. Dit zijn modellen voor systemen die op ieder moment een andere toestand kunnen aannemen. Dit in tegenstelling tot discrete dynamische modellen waarin de systemen verondersteld worden te veranderen met sprongen in de tijd. Er vallen eigenlijk geen dynamische systemen onder deze laatste noemer. Echter de analyse van continue systemen met behulp van discrete dynamische modellen is vaak wat eenvoudiger. Sterker nog, zelfs al stellen we continue modellen op, dan zijn we in de meeste gevallen toch weer genoodzaakt om een analyse te doen met gebruikmaking van een discrete benadering.
Over continue dynamische modellen is heel veel geschreven. Het gaat daarom te ver om alles te behandelen. De modellen waarvan we een tip van de sluier gaan oplichten zijn de zogenoemde differentiaalvergelijkingen. Een differentiaalvergelijking heeft de volgende vorm:
$\frac{dx}{dt} = f(x,t)$ met startwaarde (=beginconditie): $x(t_{0})=x_0$
In dit model staat $x$ voor de toestand van een in een getalswaarde uit te drukken systeem (bijvoorbeeld temperatuur, plaats, concentratie) en $t$ voor de tijd. Er zijn twee bijzonderheden aan dit model. Ten eerste wordt er alleen een voorschrift gegeven over hoe het systeem verandert in de loop van de tijd, uitgaande van de toestand van het systeem op een bepaald tijdstip $t_{0}$. Ten tweede geeft de functie $f(t,x)$ aan dat de snelheid van verandering ook afhangt van de toestand $x$ van het systeem. Dit laatste lichten we even kort toe met een voorbeeld. In een kolonie bacteriën zullen er per tijdseenheid meer nieuwe bacteriën door deling bijkomen als er meer bacterien in de kolonie aanwezig zijn. Het kan ook zo zijn dat er zoveel bacteriën op elkaar gepakt zijn dat er niet voldoende voedsel is om delingen te laten plaatsvinden. Als we nu de dichtheid van bacteriën als toestand in een dynamisch model beschouwen dan heeft die dichtheid dus invloed op de groeisnelheid van die dichtheid.
Één van de doelen in het wiskundige onderzoek aan dergelijke modellen is het oplossen van differentiaalvergelijkingen tot een uitdrukking van de toestand $x$ als functie van $t$:
$x(t)=g(t)$
Het vinden van een oplossing is echter in heel weinig gevallen mogelijk. We zullen wel differentiaalvergelijkingen gaan bekijken die oplosbaar zijn, voordat we niet-oplosbare sytemen bekijken. De technieken voor de oplosbare differentiaalvergelijkingen blijken een groot nut te hebben voor de analyse van de niet-oplosbare. Als eerste beschouwen we straks de meest eenvoudige differentiaalvergelijking: de homogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerst orde voor één variabele. Die gaan we oplossen en numeriek benaderen. Daarna behandelen we niet homogene lineaire differentiaalvergelijkingen en niet lineaire homogene differentiaalvergelijkingen in één dimensie. Als laatste bekijken we dynamische systemen in meer dimensies en komen daar ook chaos tegen. Als je de hele cursus hebt doorlopen heb je de essentie van het denken over dynamische modellen aangeboden gekregen. Er zijn echter nog heel veel wiskundige technieken en modelleringsstrategieën die je waarschijnlijk op de universiteit tegen gaat komen.
Opmerkingen
Ontdek je fouten, of heb je opmerkingen over de inhoud of het functioneren van de website, stuur dan een e-mail naar John Val j.val@rijnlandslyceum-rlo.nl
Benodigdheden
- De documenten in deze website bevatten veel wiskundige formules die in "MathML" zijn gemaakt gebruikmakende van MathJax. "MathML" wordt niet standaard door oudere versies van Microsoft Internet Explorer getoond. Je moet voor oudere versies van IE de plugin downloaden die te vinden is op https://www.dessci.com/en/products/mathplayer/download.htm.
- Deze website bevat scalable vector graphics. SVG wordt niet standaard in oude versies van Microsoft Internet Explorer getoond. De Adobe SVG viewer plugin kun je downloaden op https://www.adobe.com/svg/viewer/install https://www.adobe.com/svg/viewer/install/ Of beter gebruik de Firefox of internet browser (voor nog beter wiskundige weergave in Firefox: installeer STIX fonts).
- Deze website bevat flash flimpjes. Dus de flashplayer moet ook als plug in aanwezig zijn.
- Deze website maakt ook dankbaar gebruik van de javascript libraries JSXGraph en Threejs voor het maken van mooie interactieve grafieken.
- Deze website bevat opdrachten die met IPCoach kunnen worden uitgevoerd. Hier kun je een studentenversie halen.
Hieronder zijn Mathplayer, Adobe SVG viewer ook lokaal te downloaden. Kijk echter voor de meest recente versies van de plugins op de pagina's van de linkjes hierboven.