1 Inleiding

In deze cursus staat tekenen op het computerscherm en animaties van die tekeningen centraal. We willen bereiken dat je de wiskunde waarmee de processoren van grafische kaarten hun werk doen begrijpt. Bovendien willen we dat je de berekeningen in deze wiskunde zelf in een computer programma verwerkt. We doen dit volgens de laatste ontwikkelingen in de taal javascript om een derde doel, namelijk het leren schrijven in een object georiënteerde taal, te verwezenlijken (deel van de exameneisen).

De wiskunde die voor computer graphics wordt gebruikt heet lineaire algebra. De lineaire algebra houdt zich bezig met rekenen aan systemen waarin de variabelen alleen tot de eerste macht voorkomen. De meest simpele vorm, waarin lineaire algebra in voorkomt, is het oplossen van vergelijkingen in één onbekende:

In de brugklas heb je geleerd dat je de 2 in het linker deel van de vergelijking moet kwijt raken door het linker en rechter deel door 2 te delen. In het algemeen moeten we dus door $a$ delen. Ofwel:

Iedere stap in de oplossingsmethode is hierin gelijkwaardig. Je kunt dus ook van onder naar boven het proces terugwerken. Om alvast aan de notatie, die we straks gaan introduceren, te wennen gaan we niet links en rechts delen door $a$ maar vermenigvuldigen met $\frac{1}{a}$ (wat natuurlijk precies het zelfde is) ofwel vermenigvuldigen met $a^{-1}$. Natuurlijk kan in het algemene geval $a$ niet gelijk zijn aan 0, delen door nul is flauwekul.

Een iets ingewikkelder probleem dat jullie al kunnen oplossen is het bepalen van het snijpunt van twee lijnen (b.v.$l$ en $m$) in het platte vlak.

In dit voorbeeld zijn de variabelen $x$ en $y$. De taak is het vinden van een waarde voor $x$ en $y$ die aan beide vergelijkingen voldoen. Merk op dat we in deze vergelijkingen kunnen denken dat $y$ met 1 is vermenigvuldigd. De schrijfwijze voor de lijn $y=ax+b$ is dus gelijkwaardig met de schrijfwijze $1y-ax=b$. Een nog algemenere schrijfwijze voor een lijn is $ax+by=c$.

Opgaven:

1.

Herschrijf de onderstaande vergelijkingen voor de lijnen k,l,m in de vorm $y=ax+b$.

a) $k:2y+9x=4$	b) $l:-3y+8x=9$	c) $m:4y+\frac{8}{3}x=3$

2.

Maak zelf twee van dit soort opgaven en geef die aan je buurvrouw/buurman.

3.

Los de volgende stelsels van vergelijkingen op:

a) $\left\{\begin{array}{ccc}y\hfill & \hfill =\hfill & 3x+4\hfill \\ y\hfill & \hfill =\hfill & 2x-2\hfill \end{array}\right.$	b) $\left\{\begin{array}{ccc}3x+3y\hfill & \hfill =\hfill & 4\hfill \\ -3x+2y\hfill & \hfill =\hfill & 1\hfill \end{array}\right.$	c) $\left\{\begin{array}{ccc}2y-3x\hfill & \hfill =\hfill & 4\hfill \\ 3y-2x\hfill & \hfill =\hfill & -2\hfill \end{array}\right.$

4.

Maak zelf twee van dit soort opgaven en geef die aan je buurvrouw/buurman.

5.

Waarom lukt het oplossen in de volgende gevallen niet:

a) $\left\{\begin{array}{ccc}y\hfill & \hfill =\hfill & 3x+4\hfill \\ y\hfill & \hfill =\hfill & 3x-2\hfill \end{array}\right.$	b) $\left\{\begin{array}{ccc}3x+3y\hfill & \hfill =\hfill & 4\hfill \\ 9x+9y\hfill & \hfill =\hfill & 1\hfill \end{array}\right.$

6.

Los het volgende stelsel van vergelijkingen op:

$\left\{\begin{array}{ccc}x+3y-2z\hfill & \hfill =\hfill & 4\hfill \\ 3x-z\hfill & \hfill =\hfill & 2\hfill \\ x+y\hfill & \hfill =\hfill & 8\hfill \end{array}\right.$

In de laatste opgave 6 zijn er drie variabelen $x,y,z$. Een enkele vergelijking in het stelsel stelt nu ruimtelijk gezien een vlak voor. Het oplossen van het stelsel is dan ruimtelijk gezien gelijk aan het zoeken naar het snijpunt van drie vlakken.

Samenvattend kunnen we tot nu toe concluderen, dat bij een stelsel bestaande uit één vergelijking er één variabele is en de oplossing gezien kan worden als een punt in een één dimensionale ruimte (lijn). Bij een stelsel met twee vergelijkingen zijn er twee variabelen en de oplossing kan worden gezien als het snijpunt van twee lijnen in een twee dimensionale ruimte (vlak). Tenslotte bij een stelsel van drie variabelen met drie vergelijkingen is de oplossing een snijpunt van drie vlakken in een drie dimensionale ruimte.

In opgave 5 heb je gezien, dat hoewel je twee vergelijkingen hebt, je toch geen oplossing hebt. Dit komt omdat de lijnen evenwijdig (parallel) zijn. Het hebben van gelijke richtingen in twee vergelijkingen noemen we lineaire afhankelijkheid van de twee vergelijkingen.

Er kunnen nog meer variabelen zijn, zeg $n$ variabelen, samen met een stelsel van $n$ vergelijkingen. Een oplossing is een punt in een $n$ - dimensionale ruimte. De ruimte die wij hier interessant vinden is een ruimte waarin de variabelen reële getallen kunnen aannemen. De ruimte heet dan ${ℝ}^n$. Een oplossing is alleen mogelijk als al de vergelijkingen lineair onafhankelijk zijn en het er precies $n$ zijn.

Nu is het zo dat stelsels, geschreven in de vorm hierboven, snel onoverzichtelijk worden. Daarnaast kan er veel over de stelsels worden gezegd aan de hand van de coëfficienten die voor de variabelen staan. De wiskunde heeft daarom een nieuwe notatie verzonnen die het geheel overzichtelijker maakt en waarmee ook beter gerekend kan worden. Deze notatie blijkt verder ook nog veel gemakkelijker in de computer te implementeren. Als laatste wordt de notatie ook gebruikt als functie (bewerking) in plaats van vergelijking (oplossing). Voor de computer graphics wordt de notatie vooral als bewerking gebruikt om objecten op het scherm te verplaatsen (transformaties). We zullen hier nog uitgebreid op terugkomen. We introduceren nu eerst de notatie.