Punt,Vector,Matrix

2 Punt,Vector,Matrix

2.1 Punt

Een punt is eenvoudig. In $ℝ^{n}$ wordt een punt gedeﬁnieerd als de verzameling coördinaten langs de assen van een assenstelsel. We geven dit weer als:

P (p_{1}, p_{2}, p_{3}, \dots, p_{n}),

(3)

waarin $p_{i}$ de coördinaat op de $i$ -de as.

Voorbeeld: In het x,y-vlak kiezen we het punt A(1,3). De x-coördinaat van A is 1 en de y-coördinaat van A is 3.

2.2 Vector

De leerlingen met natuurkunde in hun pakket hebben waarschijnlijk het begrip vector al eens gezien bij het rekenen met snelheden en krachten. De vectoren waren in die gevallen waarschijnlijk vectoren in een twee dimensionale ruimte. Uit het zwaartepunt van een voorwerp teken je pijlen in de richting waarin krachten werken. De resulterende kracht is de vector optelling van alle op het voorwerp werkende krachten. Een vector is dus een pijl. Een pijl met een beginpunt en een eindpunt. Om alles wat eenvoudiger te houden deﬁnieert men in de lineaire algebra een vector als een pijl die een verplaatsing aangeeft. Een vector die vanuit een punt $P$ vertrekt en in $Q$ uitkomt geeft dan een verplaatsing aan van punt $P$ naar $Q$ . Een vector wordt dan wiskundig weergegeven aan de hand van de hoeveelheid verplaatsing in de richtingen van de verschillende assen. Een pijl die vanuit de oorsprong $O$ naar een punt $P$ vertrekt krijgt dan precies de zelfde coördinaten als het punt $P$ zelf. Een vector wordt meestal geschreven in kleine letters met een pijltje erboven, maar dat wordt vaak ook weer weggelaten (wiskundigen zijn gewoon luie donders). De coördinaten van het punt zijn dan gelijk aan de verplaatsingen in de vector. Notatie:

\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})

(4)

waarin $v_{i}$ de verplaatsing langs de $i$ -de as is.

Voorbeeld: In het x,y-vlak geeft de vector $\vec{b} = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix})$ een verplaatsing aan over vier eenheden in de richting evenwijdig aan de x-as en 3 eenheden in de richting evenwijdig aan de y-as.

2.3 Matrix

Een matrix is een soort van tabel met rijen (horizontaal) en kolommen (verticaal en wordt genoteerd met een hoofdletter. De dimensie van een matrix is het aantal rijen (b.v. m) en het aantal kolommen (b.v. n). De dimensie wordt weergegeven als $m \times n$ , ofwel het aantal rijen keer het aantal kolommen.

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})

(5)

Het getal $a_{i j}$ staat in i rij en kolom j.

2.4 Stelsel vergelijkingen in matrix notatie

Straks introduceren we optellen en vermenigvuldigen van matrices en vectoren. Hier geven we alvast een voorproefje. In opgave 3 hadden we het stelsel:

\{\begin{matrix} - 3 x + 2 y & = & 4 \\ - 2 x + 3 y & = & - 2 \end{matrix}

In vector en matrix notatie wordt dit stelsel weergegeven door de volgende vergelijking:

(\begin{matrix} - 3 & 2 \\ - 2 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \end{matrix})

Ofwel:

A \vec{x} = \vec{b}

(6)

waarin: $A = (\begin{matrix} - 3 & 2 \\ - 2 & 3 \end{matrix})$ de matrix van de coëﬃcienten voor de variabelen $x$ en $y$ in het stelsel, $\vec{x} = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ is een vector die de coördinaten van de variabelen bevat en $\vec{b} = (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \end{matrix})$ is ook een vector. Je leest matrix $A$ keer vector $\vec{x}$ is gelijk aan vector $\vec{b}$ .

Opgaven:

7.: Schrijf alle stelsels in de opgaven uit de inleiding in matrix notatie en geef daarbij de dimensie van de matrix.

De vergelijking (6) $A \vec{x} = \vec{b}$ lijkt erg veel op de vergelijking (1) $a x = b$ . De oplossingsmethode wordt ook op dezelfde manier verkregen: links en rechts van het $=$ teken vermenigvuldigen met $A^{- 1}$ (dit noemt men de inverse van $A$ ). De oplossing is dus:

\vec{x} = A^{- 1} \vec{b}

(7)

Dit verhaal geldt voor alle dimensies. Het wordt nu tijd om te leren rekenen met matrices en vectoren. Optellen, vermenigvuldigen en de inverse berekenen van een matrix zijn de fundamenten waarop de lineaire algebra is gebouwd.

Een kritische leerling zal nu misschien opmerken: ”Zo’n vector is toch ook een matrix!?”. Mijn reactie hierop is dat dit een zeer juiste conclusie is. Echter er zijn een aantal eigenschappen van vectoren in de lineaire algebra die niet van toepassing zijn op een matrix. Hier zullen we niet dieper op ingaan.

Opgaven:

8.: Waar ben je het begrip inverse eerder tegen gekomen?
9.: Zo meteen worden de begrippen matrixvermenigvuldiging en vector optelling uitgelegd. Heb je al een idee hoe dit zou moeten werken?

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]