3 Basis rekenen met matrices en vectoren

3.1 Matrices en vectoren optellen (beschouw hier een vector ook als een matrix)

Het optellen van twee matrices of twee vectoren kan alleen als deze twee matrices of vectoren dezelfde dimensie hebben en werkt als volgt:

Je ziet dat ieder element in het resultaat gelijk is aan de optelling van de elementen met dezelfde indexen uit de matrices die bij elkaar worden opgeteld.

Eigenschappen van optellen:

Voorbeelden

• $\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right)$+$\left(\begin{array}{cc}\hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1+5\hfill & \hfill 2+6\hfill \\ \hfill 3+7\hfill & \hfill 4+8\hfill \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{cc}\hfill 6\hfill & \hfill 8\hfill \\ \hfill 10\hfill & \hfill 12\hfill \end{array}\right)$

• $\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right)$+$\left(\begin{array}{c}\hfill 5\hfill \\ \hfill 6\hfill \end{array}\right)$ Kan niet want de dimensies zijn niet gelijk

3.2 Matrices en vectoren vermenigvuldigen met een getal (scalaire vermenigvuldiging) (beschouw hier een vector ook als een matrix):

Matrices en vectoren kun je met een getal vermenigvuldigen. Stel een vector wordt met 2 vermenigvuldigd, dan is het gewenste resultaat dat de lengte van de vector twee keer zo groot wordt terwijl de richting gelijk blijft. Als ieder element van de vector met 2 wordt vermenigvuldigd wordt is dit het geval. Bij een vermenigvuldiging van een getal met een matrix wordt precies hetzelfde gedaan.

Ofwel:

Eigenschappen van scalaire vermenigvuldiging:

Voorbeeld

• $2\cdot \left(\begin{array}{cc}\hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill 2\cdot 5\hfill & \hfill 2\cdot 6\hfill \\ \hfill 2\cdot 7\hfill & \hfill 2\cdot 8\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill 10\hfill & \hfill 12\hfill \\ \hfill 14\hfill & \hfill 16\hfill \end{array}\right)$

Voorbeeld

• $2\cdot \left(\begin{array}{cc}\hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 7\hfill & \hfill 8\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill 2\cdot 5\hfill & \hfill 2\cdot 6\hfill \\ \hfill 2\cdot 7\hfill & \hfill 2\cdot 8\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill 10\hfill & \hfill 12\hfill \\ \hfill 14\hfill & \hfill 16\hfill \end{array}\right)$

3.3 Matrix vermenigvuldigen met matrix (beschouw hier een vector ook als een matrix)

Het vermenigvuldigen van matrices is een heel stuk lastiger. De matrix vermenigvuldiging $A\cdot B$ van matrix $A$ en matrix $B$ kan alleen als het aantal kolommen van $A$ gelijk is aan het aantal rijen in $B$ en werkt als volgt:

Het resultaat van $A\cdot B$ met $A$ een $m\times n$ matrix en $B$ een $n\times k$ matrix is een matrix $C$ met dimensie $m\times k$.
Dit ziet er ingewikkeld uit dus een voorbeeld is gewenst:

Voorbeeld

• $\left(\begin{array}{cc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 5\hfill & \hfill 6\hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 6\hfill \\ \hfill 2\hfill & \hfill 4\hfill & \hfill 5\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 2\cdot 1+1\cdot 2\hfill & \hfill 2\cdot 3+1\cdot 4\hfill & \hfill 2\cdot 6+1\cdot 5\hfill \\ \hfill 3\cdot 1+4\cdot 2\hfill & \hfill 3\cdot 3+4\cdot 4\hfill & \hfill 3\cdot 6+4\cdot 5\hfill \\ \hfill 5\cdot 1+6\cdot 2\hfill & \hfill 5\cdot 3+6\cdot 4\hfill & \hfill 5\cdot 6+6\cdot 5\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 4\hfill & \hfill 10\hfill & \hfill 17\hfill \\ \hfill 11\hfill & \hfill 25\hfill & \hfill 38\hfill \\ \hfill 17\hfill & \hfill 39\hfill & \hfill 60\hfill \\ \hfill \hfill \end{array}\right)$

  
  Stap voor stap wordt dit voorbeeld uitgewerkt in de video
  http://www.youtube.com/watch?v=sYlOjyPyX3g.

• $\left(\begin{array}{cc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\hfill 5\hfill \\ \hfill 6\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill 2\cdot 5+1\cdot 6\hfill \\ \hfill 3\cdot 5+4\cdot 6\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill 16\hfill \\ \hfill 39\hfill \end{array}\right)$

• $\left(\begin{array}{c}\hfill 5\hfill \\ \hfill 6\hfill \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right)$.

  Kan niet de eerste matrix heeft niet hetzelfde aantal kolommen als dat de tweede matrix rijen heeft.

Eigenschap van matrix vermenigvuldiging:

Voor een vector gelden de zelfde regels voor optellen van vectoren en scalaire vermenigvuldiging van een vector als bij een matrix.

3.3.1 Door matrix delen

De matrix deling bestaat niet. Wel zal er later in de tekst worden uitgelegd hoe je de inverse $A^{-1}$ van een vierkante matrix $A$ kan berekenen. Er geldt dan $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$. $I$ noemen we de eenheidsmatrix. Deze matrix heeft de zelfde dimensie als $A$ en $A^{-1}$. Alle elementen in $I$ zijn 0 behalve die op de diagonaal van linksboven naar rechtsonder, die zijn alle maal gelijk aan 1. Voorbeeld in $3\times 3$:

3.3.2 Matrix transponeren

De getransponeerde $A^T$ van een $m\times n$ matrix $A$ is een $n\times m$ matrix waarin de rijen van $A$ de kolommen van $A^T$ worden. Voorbeeld:

Opgaven:

10.

Gegeven: $A=\left(\begin{array}{cc}\hfill 3\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}\hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill -2\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}\hfill 2\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill -3\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 5\hfill \end{array}\right)$,
$x=\left(\begin{array}{c}\hfill 5\hfill \\ \hfill 6\hfill \\ \hfill 7\hfill \end{array}\right)$, $y=\left(\begin{array}{c}\hfill 2\hfill \\ \hfill 3\hfill \end{array}\right)$, $z=\left(\begin{array}{c}\hfill 3\hfill \\ \hfill 4\hfill \end{array}\right)$
Bereken of geef aan waarom iets niet kan:

a) $A+B$	b) $A+C$	c) $A+y$
d) $C\cdot x$	e) $2C$	f) $Ay$
g) $\left(A+B\right)z$	h) $A+Bz$	i) $y+z$
j) $x+y$	k) $xy$	l) $A\left(y+z\right)$
m) $\left(y+z\right)A$	n) $AB$	o) $BA$
p) $CABy$	q) $IA$	r) $AI$

11.

Waarom kan de matrix vermenigvuldiging $A\cdot B$ van matrix $A$ en matrix $B$ alleen als het aantal kolommen van $A$ gelijk is aan het aantal rijen in $B$?

12.

Gegeven zijn de getallen $a=2$ en $b=3$ en de matrices $A=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 4\hfill \end{array}\right)$ en $B=\left(\begin{array}{cc}\hfill 4\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 3\hfill & \hfill 2\hfill \end{array}\right)$

a)

Bereken $a\cdot b$ , $b\cdot a$, $A\cdot B$ en $B\cdot A$

b)

Wat valt je op?

c)

Waarom heeft Matrix vermenigvuldigen in het algemeen geen commutatieve eigenschap ($AB=BA$ is niet geldig) zelfs niet als beide matrices vierkant zijn (dwz evenveel rijen als kolommen)

d)

Waarom kunnen twee vectoren niet op de manier als matrices worden vermenigvuldigd?

13.

Een matrix heet symmetrisch als hij vierkant is en als geldt $a_{ij}=a_{ji}$ voor alle $i$ en $j$. Laat zien dat voor twee symmetrische matrices A en B met dimensie $n\times n$, waarvoor bovendien geldt dat de diagonaalelementen gelijk zijn ( $a_{ii}=a_{jj}$ voor alle $i$ en $j$ ) wel geldt dat $AB=BA$ (Hint: begin met een 2x2 matrix).

14.

(Als het programmeren nog niet is gestart voorlopig overslaan) Maak een klasse MatrixLA (zie het voorbeeld in de GraphicsApplet project) waarin de volgende functies worden gedefinieerd:

a)

constructor(rows, cols)

b)

getRows()

c)

getCols()

d)

getData()

e)

multiplyRight( B) ”Voert uit AB”

f)

multiplyLeft( B) ”Voert uit BA”

g)

multiplyScalar(double c) ”Voert uit cA”

h)

add(B) ”Voert uit A+B”

i)

public MatrixLA transpose()

j)

public homgeenToEuclid()

Laat in alle gevallen null terugkomen als de bewerking niet mogelijk is