7 Beeld bij het projectieve vlak

We hebben tot nu toe met het projectieve vlak gerekend zonder daar een beeld bij te hebben. Dat rekenen deden we met behulp van een vector met drie elementen of wel drie coördinaten. Als we die $x,y$ en $z$ noemen dan zijn we eigenlijk bezig in een drie dimensionale ruimte. Echter er zijn wel wat beperkingen. We hebben al gezien dat het projectieve punt $\left(a,b,c\right)$ gelijk is aan het projectieve punt $\left(a∕c,b∕c,1\right)$. De waarde van $c$ is dus slechts een factor waarmee we een punt $\left(e,f,1\right)$ in een echte driedimensionale wereld schalen. Het punt $P=\left(e,f\right)$ uit de euclidische ruimte wordt het punt $P=\left(e,f,1\right)$ in het projectieve vlak.

In het bovenste deel van figuur 7 kunnen we de euclidische ruimte beschouwen als het vlak door $\left(0,0,1\right)$ evenwijdig aan het $\left(x,y,0\right)$ grondvlak.

In de middelste figuur zie je het punt projectieve punt $P$ getekend als een lijn door de oorsprong en het bijbehorende euclidische punt in het oranje vlak. Ofwel een projectief punt wordt weergegeven met een lijn door de oorsprong $O$ in een drie dimensionale weergave.

Evenzo wordt de euclidische lijn $PQ$ omgezet in een projectieve lijn door het weer te geven als een vlak door de oorsprong en de punten $P$ en $Q$.

Waarom heet de wiskunde hier projectieve wiskunde?
We komen steeds dichter bij het echte doel van dit werk. Namelijk het afbeelden van de werkelijkheid op een scherm. Het euclidische vlak werd hierboven als een vlak niet door de oorsprong getekend. Je zou kunnen zeggen: we kijken vanuit $O$ op het euclidische vlak. We zouden echter ook een ander kijkpunt kunnen aannemen en vanuit die positie een foto willen maken van het euclidische vlak. Ofwel loop naar de gang. Beschouw de vloer als het euclidische vlak. Maak met je handen een rechthoek en kijk daardoor naar de vloer.

Wat zie je?
Je ziet de vloer in perspectief. Dat wil zeggen de grenslijnen tussen muur en vloer lijken naar elkaar toe te gaan. Je weet waarschijnlijk wel van de tekenlessen dat evenwijdige lijnen in perspectivische tekeningen op de horizon bij elkaar komen. De horizon komt op die plek in je beeld terecht waar vanuit je oog een lijn evenwijdig aan de vloer denkbeeldig je beeld snijdt. In figuur 8 is getracht dit in een tekening duidelijk te maken. De figuur is te vinden in het geogebra bestand Open geogebra applet . Het is zinvol dit bestand te openen om een dynamischer beeld van het onderstaande te krijgen. Gebruik het schuifje $u$ in de applet en bekijk het resultaat voordat je verder leest. In de figuur is het bruine vlak het euclidische vlak. Het blauwe de foto (ofwel het kijkvlak). $Z$ is het kijkpunt van waaruit je de foto neemt. De lijnen door $P$ en $Q$ en door $P^{″}$ en $Q^{″}$ zijn evenwijdig. De lijnstukken $P_1{Q}_1$ en $P_1^{″}{Q}_1^{″}$ zijn de beelden van $PQ$ en $P^{″}{Q}^{″}$ in de foto.

Een beeld van een euclidisch punt, bijvoorbeeld $Q$, krijg je door de rechte lijn $QZ$ (rode stippellijn) te snijden met het kijkvlak (blauwe vlak). Het snijpunt $Q_1$ is het beeldpunt. In deel $A$ van de figuur zijn $P$ en $P^{″}$ dichtbij $Q$ en $Q^{″}$. In deel $B$ zijn $P$ en $P^{″}$ 180 keer verder weg gezet. Je ziet dan dat de afbeeldingen $P_1$ en $P_1^{″}$ van respectievelijk $P$ en $P^{″}$ nu bijna op elkaar op de horizon liggen.