6 De translatie als vierkante matrix

Om nu ook een translatie in twee dimensies als vierkante matrix te schrijven kunnen we niet de gewone meetkunde in het platte vlak, de naar de griek Euclides vernoemde euclidische meetkunde, blijven gebruiken. We moeten dan overgaan op de zogenoemde projectieve meetkunde in het projectieve vlak. Voor we daar meer uitleg over geven, gaan we die eerst gewoon gebruiken. De punten en vectoren in het projectieve vlak die overeenkomen met punten in het euclidische vlak krijgen allen een extra element in de kolom.
Bijvoorbeeld de euclidische vector $\left(\begin{array}{c}\hfill 3\hfill \\ \hfill 4\hfill \end{array}\right)$ wordt omgezet tot het projectieve vector $\left(\begin{array}{c}\hfill 3\hfill \\ \hfill 4\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)$ , ofwel in het algemeen:

Het kan in berekeningen voorkomen dat in een projectief punt de derde coördinaat niet gelijk is aan 1. Om dan het bijbehorende euclidische punt te vinden moet alle coördinaten worden geschaald met dezelfde factor opdat de derde coördinaat wel 1 wordt.
Bijvoorbeeld om de projectieve vector ${\overrightarrow{v}}_p=\left(\begin{array}{c}\hfill 6\hfill \\ \hfill 8\hfill \\ \hfill 2\hfill \end{array}\right)$ om te zetten naar een euclidische vector ${\overrightarrow{v}}_e$ moet de projectieve vector worden geschaald met een half: ${\overrightarrow{v}}_p=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}\hfill 6\hfill \\ \hfill 8\hfill \\ \hfill 2\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill 3\hfill \\ \hfill 4\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right)$. De euclidische vector is dan gelijk aan ${\overrightarrow{v}}_e=\left(\begin{array}{c}\hfill 3\hfill \\ \hfill 4\hfill \end{array}\right)$.
In het algemeen geldt dan:

Kolom element $c$ kan iedere waarde hebben. Zolang deze waarde niet gelijk is aan nul is een projectief punt om te zetten in euclidisch punt. Als c gelijk is aan nul hebben we een punt op de ”horizon”. We komen later terug op de betekenis hiervan.

Opgaven:

56.

Geef van de volgende projectieve vectoren de bijbehorende euclidische vectoren:

$$\left(\begin{array}{c}\hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill \\ \hfill 1\hfill \end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\hfill 6\hfill \\ \hfill 9\hfill \\ \hfill 3\hfill \end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\hfill 5\hfill \\ \hfill 7.5\hfill \\ \hfill 2.5\hfill \end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\hfill 50000\hfill \\ \hfill 100000\hfill \\ \hfill 200000\hfill \end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\hfill -0.003\hfill \\ \hfill 0.002\hfill \\ \hfill -0.001\hfill \end{array}\right)$$

Translatie

In het euclidische vlak werd een punt $A=\left(\begin{array}{c}\hfill x\hfill \\ \hfill y\hfill \end{array}\right)$ verplaatst over de euclidische vector $\left(\begin{array}{c}\hfill a\hfill \\ \hfill b\hfill \end{array}\right)$ naar het punt $A^{\prime }$ door de vector bij de coördinaten van $A$ op te tellen. $A^{\prime }=\left(\begin{array}{c}\hfill x\hfill \\ \hfill y\hfill \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\hfill a\hfill \\ \hfill b\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill x+a\hfill \\ \hfill y+b\hfill \end{array}\right)$
In het projectieve vlak wordt deze translatie gegeven door de matrix vermenigvuldiging:

Opgaven:

57.

Controleer deze matrix vermenigvuldiging.

Ook de andere transformaties herschrijven we nu naar matrices voor het projectieve vlak:

Rotatie over een hoek $\beta$ tegen de klok in:

Spiegelen in de x-as:

Schalen:

Opgaven:

58.

Herschrijf voorbeeld 3 en opgaven 43 en 44 als product in de projectieve meetkunde en vereenvoudig die met behulp van matrixvermenigvuldiging tot één matrix

Nu alle transformaties (ofwel projectieve afbeeldingen) als een $3\times 3$ matrix kunnen worden geschreven en omdat ieder van de boven beschreven transformaties een inverse matrix heeft, kunnen we in principe iedere bewerking ongedaan maken. Laat $A,B,C$ en $D$ willekeurige basis transformaties zijn met inversen $A^{-1},B^{-1},C^{-1},$ en $D^{-1},$ en laat $x$ een representatie zijn van een euclidisch punt in het projectieve vlak. Dan geeft het product $DCBA$ in $DCBAx=x^{\prime }$ de samengestelde transformatie van $x$ naar $x^{\prime }$ weer waarin eerst de transformatie $A$ wordt uitgevoerd daarna transformatie $B$ vervolgens transformatie $C$ en als laatste transformatie $D$. Dit kan dan weer worden omgezet tot een euclidisch punt met het boven beschreven recept. Gaan we uit van het punt $x^{\prime }$ dan kunnen we $x$ als volgt weer terug krijgen:

Ofwel, we kunnen het proces in omgekeerde volgorde stap voor stap terug draaien. Laat nu $E=DCBA$ de matrix zijn die we krijgen door alle transformatie matrices in de juiste volgorde te vermenigvuldigen dan is $E^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}{C}^{-1}{D}^{-1}$ .

Opgaven:

59.

Toon aan dat inderdaad geldt $E^{-1}E=E{E}^{-1}=I$.

60.

Gegeven is het euclidische punt $\left(1,1\right)$. Dit punt wordt eerst verschoven over een vector $\left(2,1\right)$ vervolgens wordt dit resultaat over $\pi ∕2$ radialen tegen de klok in gedraaid ten opzichte van de oorsprong en vervolgens in de $x$-as gespiegeld. Geef de samengestelde matrix $E$ en zijn inverse $E^{-1}$.

61.

Beredeneer op basis van nadenken dat de volgorde van de uitvoer van de transformaties belangrijk is. Verzin daartoe voorbeelden die verschillende eindpunten geven als de transformaties in verschillende volgorde worden uitgevoerd.

62.

Welke eigenschap van matrixvermenigvuldiging geeft je wiskundig dit inzicht.

6.1 Inverse voor een $3\times 3$ matrix (bron http://nl.wikipedia.org/wiki/Inverse_matrix )

Ook in het projectieve vlak is de inverse dus weer belangrijk. Krijg je een willekeurige $3\times 3$ matrix dan is daar meestal ook weer een inverse matrix voor uit te rekenen. Hier is het algemene recept :
Laat $A=\left(\begin{array}{ccc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill & \hfill c\hfill \\ \hfill d\hfill & \hfill e\hfill & \hfill f\hfill \\ \hfill g\hfill & \hfill h\hfill & \hfill i\hfill \end{array}\right)$ dan is $A^{-1}=\frac{1}{det\left(A\right)}\mathrm{adj}\left(A\right)$.
Dit helpt nog niet veel. Hoe bereken je de determinant $det\left(A\right)$ voor een $3\times 3$ matrix en wat is $\mathrm{adj}\left(A\right)$. Het berekenen van een determinant laat zien hoe mooi lineaire algebra is. De determinant van iedere $n\times n$ matrix kan worden versimpeld tot het berekenen van determinanten van $2\times 2$ matrices. Voor onze $3\times 3$ matrix $A$ gaat dat als volgt:

$\mathrm{adj}\left(A\right)$ wordt de geadjugeerde van $A$ genoemd en is een matrix waarvan de elementen ook door determinanten van $2\times 2$ matrices worden verkregen.

Voorbeeld:
Bereken de inverse van de matrix:

Stap 2: Maak de geadjugeerde:

Stap 3: samenvoegen:

Stap 4: controle:

Dit klopt dus de matrix $A^{-1}$ uit stap 3 is de gevraagde inverse

Opgaven:

63.

Bereken de inverse matrices van de matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 3\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 6\hfill & \hfill 5\hfill & \hfill 4\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$ en $B=\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill -1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$.

Je hebt vast gemerkt dat het heel wat bewerkelijker is om een inverse van een $3\times 3$ matrix te berekenen dan om de inverse van een $2\times 2$ matrix te berekenen. We zullen straks ook nog de inverse van een $4\times 4$ matrix nodig hebben. Ik zal jullie het met de hand uitrekenen hiervan echter besparen. Het trucje blijft hetzelfde alleen vergt het véél meer rekenwerk.