5 Probleem met combinaties van transformaties:

In de voorbeelden 4 en 5 in de vorige sectie is er sprake van een combinatie van optellen met vectoren en vermenigvuldigen met matrices waardoor de terugweg van b.v. punt $A^{\prime \prime \prime \prime }$ naar $G$ in voorbeeld 5 bewerkelijk is. Je zag dat het matrixproduct $C^{\prime }{S}_{x}C$ een nieuwe $2\times 2$ matrix is geworden. Het geheel zou gemakkelijker worden als ook een translatie door een vierkante matrix zou kunnen worden geschreven. Stel dat $T$ een translatie matrix zou zijn en dat $T^{\prime }$ de terugkeer translatie zou zijn dan zou G geschreven kunnen worden als $G=T^{\prime }{C}^{\prime }{S}_{x}CTA=FA$, waarin de transformatie $F=T^{\prime }{C}^{\prime }{S}_{x}CTA$ een vierkante matrix is. De terugweg zou dan kunnen worden door zoiets als delen te doen: $G=FA\iff A=F^{-1}G$ Hierin is $F^{-1}$ de omgekeerde transformatie van $F$ ook wel de inverse van $F$ genoemd. Eerder in de tekst hebben we dit voorgesteld als een soort delen door een matrix. Bij delen door getallen geldt:

Links en rechts vermenigvuldigen levert het zelfde antwoord. Je hebt in opgave 11 al gezien dat bij matrix vermenigvuldiging in het algemeen geldt: $AB\ne BA$.

Wat wordt er dan gedaan bij $G=FA\iff A=F^{-1}G$

We hebben links en rechts van het = teken met $F^{-1}$ (de inverse matrix van $F$) vermenigvuldigd. We hebben gelijk de definitie van een inverse matrix te pakken.

hierin is $I$ een eenheidsmatrix. Ter herinnering: een eenheidsmatrix is een vierkante matrix ($n\times n$) met alleen enen op de diagonaal van linksboven naar rechtsonder:

Opgaven:

48.

Laat zien dat voor een vector $\overrightarrow{v}$ in 3 dimensies geldt $I\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}$ ofwel controleer de vermenigvuldiging:

$$\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\hfill v_x\hfill \\ \hfill v_y\hfill \\ \hfill v_z\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill v_x\hfill \\ \hfill v_y\hfill \\ \hfill v_z\hfill \end{array}\right)$$

49.

Wiskunde B leerlingen: Laat zien dat de $C^{\prime }$ uit voorbeeld 5 de inverse is van $C$ ofwel $C^{\prime }C=C^{-1}C=I$. Leg in woorden uit waarom dat voor je gevoel waar moet zijn.

50.

Laat zien dat de spiegelmatrix voor een spiegeling in de x-as

$$S_x=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill -1\hfill \end{array}\right)$$

gelijk is aan zijn inverse matrix ofwel $S_x^{-1}=S_x{S}_x=I$.
Leg in woorden uit waarom dat voor je gevoel waar moet zijn.

5.1 Inverse van een $2\times 2$ matrix

De inverse matrix $A^{-1}$ voor een $2\times 2$ matrix $A=\left(\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill \end{array}\right)$ wordt geven door:

Opgaven:

51.

Overtuig jezelf dat inderdaad $A^{-1}A=I$ door de vermenigvuldiging $A^{-1}A$ uit te voeren

52.

Bereken de inverse voor de matrices (controleer je antwoord):

a) $A=\left(\begin{array}{cc}\hfill 2\hfill & \hfill 1\hfill \\ \hfill 5\hfill & \hfill 3\hfill \end{array}\right)$

b) $B=\left(\begin{array}{cc}\hfill -1\hfill & \hfill 2\hfill \\ \hfill 5\hfill & \hfill 3\hfill \end{array}\right)$

c) $C=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 3\hfill \\ \hfill 1\hfill & \hfill 3\hfill \end{array}\right)$

Wat gaat er mis bij matrix $C$.

53.

Bereken de coördinaten van de beeldpunten voor de punten $P=\left(1,2\right)$ en $Q=\left(-2,3\right)$ voor ieder van de transformaties $A,B$ en $C$. Begrijp je nu waarom er geen inverse is voor de matrix $C$?

54.

a)

Vind nog een punt waarvan het beeld onder $C$ gelijk is aan het punt $\left(7,7\right)$

b)

Wat valt je op aan het verband tussen $\left(1,2\right),\left(-2,3\right)$ en het door jouw gevonden punt?

c)

Toon aan dat alle punten op de lijn $y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$ worden afgebeeld op het punt $\left(7,7\right)$.

55.

(wiskunde B leerlingen) Bewijs dat

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}\hfill d\hfill & \hfill -b\hfill \\ \hfill -c\hfill & \hfill a\hfill \end{array}\right)$$

door de volgende vergelijking op te lossen voor $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ en $d^{\prime }$:

$$A^{-1}A=\left(\begin{array}{cc}\hfill a^{\prime }\hfill & \hfill b^{\prime }\hfill \\ \hfill c^{\prime }\hfill & \hfill d^{\prime }\hfill \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill 1\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)\iff \left\{\begin{array}{ccc}{a}^{\prime }a+b^{\prime }c\hfill & =\hfill & 1\hfill \\ a^{\prime }b+b^{\prime }d\hfill & =\hfill & 0\hfill \\ c^{\prime }a+d^{\prime }c\hfill & =\hfill & 0\hfill \\ c^{\prime }b+d^{\prime }d\hfill & =\hfill & 1\hfill \end{array}\right.$$

De uitdrukking $ad-bc$ noemt men de determinant ( notatie $det\left(A\right)$ of $\left|A\right|$) van de $2\times 2$ matrix $A=\left(\begin{array}{cc}\hfill a\hfill & \hfill b\hfill \\ \hfill c\hfill & \hfill d\hfill \end{array}\right)$. Er is alleen een inverse matrix voor $A$ te vinden als de determinant van $A$ niet nul is.