In bijna alle boeken over differentiaalvergelijkingen kom je Lotka-Volterra modellen tegen. Dit zijn relatief simpele modellen, die de essentie van de interactie tussen twee of meer populaties van organismen trachten te beschrijven. Hier zullen we ons op de zogenaamde prooi-predator modellen richten. In de natuur observeert men soms regelmatige schommelingen in de dichtheden van prooien en roofdieren. Een in de literatuur vaak aangehaald voorbeeld is de tien jarige cyclus van de lynx en de sneeuwhaas. We zullen een aantal wiskundige modellen de revue laten passeren om die cyclus te verklaren. Bij ieder model staan we stil bij de biologische problemen van die modellen.

Lynx en haas overgenomen uit www.math.duke.edu.


[Photo source: Rudolfo's Usenet Animal Pictures Gallery (link no longer exists)
Gegevens uit Odum, Fundamentals of Ecology, Saunders, 1953]

In onze modellen beschouwen we een prooidierpopulatie en een (op die prooidierpopulatie levende) roofdierpopulatie. We noemen \(x\) de concentratie van de prooien per oppervlakte-eenheid en \(y\) de concentratie van de predatoren (roofdieren) per (diezelfde) oppervlakte-eenheid. In de hoofdstukken homogene lineaire differentiaalvergelijkingen en homogene niet lineaire differentiaalvergelijkingen in één dimensie ben je populatiemodellen voor bacteriën tegen gekomen. We gaan in eerste instantie uit van het exponentiële groeimodel voor de prooidierpopulatie. Een prooi kan pas opgegeten worden als het roofdier in contact komt met die prooi. Als je aanneemt dat er een goede menging is van alle organismen in de ruimte dan is de kans dat een prooi een roofdier tegen het lijf loopt evenredig aan de concentraties van prooien en roofdieren (net als bij scheikundige reacties). We nemen verder aan dat de roofdieren nergens anders van kunnen leven en elkaar niet direct in de weg zitten, maar wel met een zekere kans per tijdseenheid sterven. Dit leidt tot het volgende model:

\(\left\{\begin{array}{lll} \frac{dx}{dt} & = & rx - axy \\\frac{dy}{dt} & = & baxy - dy \end{array} \right. \)

Hierin is \(r\) het gemiddeld aantal nakomelingen die één prooi per tijdseenheid krijgt, \(a\) de kans per tijdseenheid per predator dat een prooi door een predator wordt opgegeten, \(b\) de omzettingsfactor van gevangen prooieenheden naar nageslacht van predatoren en \(d\) de sterftekans per tijdseenheid voor een predator.

In de beschrijving van het model spreken we over kansen per tijdseenheid. Deze cursus gaat over deterministische modellen. Modellen zijn een vereenvoudiging van de werkelijkheid. Als er maar veel prooien en predatoren zijn, dan geeft de wet van de grote aantallen ons de mogelijkheid die kansen als deterministische constanten te beschouwen.

De vragen waarmee we ons in deze sectie gaan bezighouden zijn:

1. Wat zijn de evenwichten voor dit systeem en hoe berekenen je die?
2. Wat is de stabiliteit van die evenwichten en hoe bepaal je dat?
3. Kan er nog een ander soort gedrag optreden?